三角学示例

$\frac{\sin^{2} (θ)}{1 + \cos (θ)}$

解题步骤 1

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 2

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 3

代入 $a = \frac{\sin^{2} (θ)}{1 + \cos (θ)}$ 和 $b = 0$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\sin^{2} (θ)}{1 + \cos (θ)})}^{2}}$

解题步骤 4

求 $| z |$ 。

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解题步骤 4.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sin^{2} (θ)}{1 + \cos (θ)})}^{2}}$

解题步骤 4.2

对 $\frac{\sin^{2} (θ)}{1 + \cos (θ)}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(\sin^{2} (θ))}^{2}}{{(1 + \cos (θ))}^{2}}}$

解题步骤 4.3

将 ${(\sin^{2} (θ))}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sin (θ)}^{2 \cdot 2}}{{(1 + \cos (θ))}^{2}}}$

解题步骤 4.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{\sin^{4} (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{2}}}$

解题步骤 4.4

将 $0$ 和 $\frac{\sin^{4} (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{2}}$ 相加。

$| z | = \sqrt{\frac{\sin^{4} (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{2}}}$

解题步骤 4.5

将 $\sin^{4} (θ)$ 重写为 ${(\sin^{2} (θ))}^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{{(\sin^{2} (θ))}^{2}}{{(1 + \cos (θ))}^{2}}}$

解题步骤 4.6

将 $\frac{{(\sin^{2} (θ))}^{2}}{{(1 + \cos (θ))}^{2}}$ 重写为 ${(\frac{\sin^{2} (θ)}{1 + \cos (θ)})}^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{{(\frac{\sin^{2} (θ)}{1 + \cos (θ)})}^{2}}$

解题步骤 4.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = \frac{\sin^{2} (θ)}{1 + \cos (θ)}$

解题步骤 5

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\sin^{2} (θ)}{1 + \cos (θ)}})$

解题步骤 6

代入 $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\sin^{2} (θ)}{1 + \cos (θ)}})$ 和 $| z | = \frac{\sin^{2} (θ)}{1 + \cos (θ)}$ 的值。

$\frac{\sin^{2} (θ)}{(1 + \cos (θ)) (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{\sin^{2} (θ)}{1 + \cos (θ)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{\sin^{2} (θ)}{1 + \cos (θ)}})))}$

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