三角学示例

$2 \sec^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

解题步骤 1

使用基于 $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式的 $2 (1 + \tan^{2} (θ))$ 替换 $2 \sec^{2} (θ)$ 。

$2 (1 + \tan^{2} (θ)) - \tan^{4} (θ) = - 1$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

解题步骤 2.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + 2 \tan^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

解题步骤 3

重新排列多项式。

$- \tan^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) + 2 = - 1$

解题步骤 4

将 $u = \tan^{2} (θ)$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$- u^{2} + 2 u + 2 = - 1$

$u = \tan^{2} (θ)$

解题步骤 5

在等式两边都加上 $1$ 。

$- u^{2} + 2 u + 2 + 1 = 0$

解题步骤 6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

解题步骤 7

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 7.1

从 $- u^{2} + 2 u + 3$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 7.1.1

从 $- u^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2}) + 2 u + 3 = 0$

解题步骤 7.1.2

从 $2 u$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2}) - (- 2 u) + 3 = 0$

解题步骤 7.1.3

将 $3$ 重写为 $- 1 (- 3)$ 。

$- (u^{2}) - (- 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

解题步骤 7.1.4

从 $- (u^{2}) - (- 2 u)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

解题步骤 7.1.5

从 $- (u^{2} - 2 u) - 1 (- 3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

解题步骤 7.2

因数。

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解题步骤 7.2.1

使用 AC 法来对 $u^{2} - 2 u - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 7.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $- 2$ 。

$- 3, 1$

解题步骤 7.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- ((u - 3) (u + 1)) = 0$

解题步骤 7.2.2

去掉多余的括号。

$- (u - 3) (u + 1) = 0$

解题步骤 8

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

解题步骤 9

将 $u - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 9.1

将 $u - 3$ 设为等于 $0$ 。

$u - 3 = 0$

解题步骤 9.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$u = 3$

解题步骤 10

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 10.1

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

解题步骤 10.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$u = - 1$

解题步骤 11

最终解为使 $- (u - 3) (u + 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = 3, - 1$

解题步骤 12

将 $u = \tan^{2} (θ)$ 的真实值代入回已解的方程中。

$\tan^{2} (θ) = 3$

${(\tan^{2} (θ))}^{1} = - 1$

解题步骤 13

求解 $\tan (θ)$ 的第一个方程。

$\tan^{2} (θ) = 3$

解题步骤 14

求解 $\tan (θ)$ 的方程。

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解题步骤 14.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\tan (θ) = \pm \sqrt{3}$

解题步骤 14.2

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 14.2.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

解题步骤 14.2.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

解题步骤 14.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 15

求解 $\tan (θ)$ 的第二个方程。

${(\tan^{2} (θ))}^{1} = - 1$

解题步骤 16

求解 $\tan (θ)$ 的方程。

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解题步骤 16.1

去掉圆括号。

$\tan^{2} (θ) = - 1$

解题步骤 16.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\tan (θ) = \pm \sqrt{- 1}$

解题步骤 16.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$\tan (θ) = \pm i$

解题步骤 16.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 16.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\tan (θ) = i$

解题步骤 16.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\tan (θ) = - i$

解题步骤 16.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\tan (θ) = i, - i$

解题步骤 17

$- \tan^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) + 2 = - 1$ 的解是 $\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$ 。

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$

解题步骤 18

建立每一个解以求解 $θ$ 。

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

$\tan (θ) = i$

$\tan (θ) = - i$

解题步骤 19

在 $\tan (θ) = \sqrt{3}$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 19.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $θ$ 。

$θ = \arctan (\sqrt{3})$

解题步骤 19.2

化简右边。

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解题步骤 19.2.1

$\arctan (\sqrt{3})$ 的准确值为 $60$ 。

$θ = 60$

解题步骤 19.3

正切函数在第一和第三象限为正值。若要求第二个解，应从 $180$ 中减去参考角以求得第四象限中的解。

$θ = 180 + 60$

解题步骤 19.4

将 $180$ 和 $60$ 相加。

$θ = 240$

解题步骤 19.5

求 $\tan (θ)$ 的周期。

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解题步骤 19.5.1

函数的周期可利用 $\frac{180}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{180}{| b |}$

解题步骤 19.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{180}{| 1 |}$

解题步骤 19.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{180}{1}$

解题步骤 19.5.4

用 $180$ 除以 $1$ 。

$180$

解题步骤 19.6

$\tan (θ)$ 函数的周期为 $180$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $180$ 度数重复出现。

$θ = 60 + 180 n, 240 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 20

在 $\tan (θ) = - \sqrt{3}$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 20.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $θ$ 。

$θ = \arctan (- \sqrt{3})$

解题步骤 20.2

化简右边。

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解题步骤 20.2.1

$\arctan (- \sqrt{3})$ 的准确值为 $- 60$ 。

$θ = - 60$

解题步骤 20.3

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $180$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$θ = - 60 - 180$

解题步骤 20.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 20.4.1

将 $360 °$ 加上 $- 60 - 180 °$ 。

$θ = - 60 - 180 ° + 360 °$

解题步骤 20.4.2

得出的角 $120 °$ 是正角度且与 $- 60 - 180$ 共边。

$θ = 120 °$

解题步骤 20.5

求 $\tan (θ)$ 的周期。

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解题步骤 20.5.1

函数的周期可利用 $\frac{180}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{180}{| b |}$

解题步骤 20.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{180}{| 1 |}$

解题步骤 20.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{180}{1}$

解题步骤 20.5.4

用 $180$ 除以 $1$ 。

$180$

解题步骤 20.6

将 $180$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 20.6.1

将 $180$ 加到 $- 60$ 以求正角。

$- 60 + 180$

解题步骤 20.6.2

从 $180$ 中减去 $60$ 。

$120$

解题步骤 20.6.3

列出新角。

$θ = 120$

解题步骤 20.7

$\tan (θ)$ 函数的周期为 $180$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $180$ 度数重复出现。

$θ = 120 + 180 n, 120 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 21

在 $\tan (θ) = i$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 21.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $θ$ 。

$θ = \arctan (i)$

解题步骤 21.2

$\arctan (i)$ 的反正切无意义。

无定义

解题步骤 22

在 $\tan (θ) = - i$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 22.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $θ$ 。

$θ = \arctan (- i)$

解题步骤 22.2

$\arctan (- i)$ 的反正切无意义。

无定义

解题步骤 23

列出所有解。

$θ = 60 + 180 n, 240 + 180 n, 120 + 180 n, 120 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 24

合并解集。

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解题步骤 24.1

将 $60 + 180 n$ 和 $240 + 180 n$ 合并为 $60 + 180 n$ 。

$θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n, 120 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 24.2

将 $120 + 180 n$ 和 $120 + 180 n$ 合并为 $120 + 180 n$ 。

$θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

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