三角学示例

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1} = 2 \tan^{2} (θ)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1}$

解题步骤 2

减分数。

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解题步骤 2.1

要将 $\frac{1}{\csc (θ) - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\csc (θ) + 1}{\csc (θ) + 1}$ 。

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} \cdot \frac{\csc (θ) + 1}{\csc (θ) + 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1}$

解题步骤 2.2

要将 $- \frac{1}{\csc (θ) + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\csc (θ) - 1}{\csc (θ) - 1}$ 。

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} \cdot \frac{\csc (θ) + 1}{\csc (θ) + 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1} \cdot \frac{\csc (θ) - 1}{\csc (θ) - 1}$

解题步骤 2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 1)$ 的形式。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{1}{\csc (θ) - 1}$ 乘以 $\frac{\csc (θ) + 1}{\csc (θ) + 1}$ 。

$\frac{\csc (θ) + 1}{(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 1)} - \frac{1}{\csc (θ) + 1} \cdot \frac{\csc (θ) - 1}{\csc (θ) - 1}$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{1}{\csc (θ) + 1}$ 乘以 $\frac{\csc (θ) - 1}{\csc (θ) - 1}$ 。

$\frac{\csc (θ) + 1}{(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 1)} - \frac{\csc (θ) - 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

解题步骤 2.3.3

重新排序 $(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 1)$ 的因式。

$\frac{\csc (θ) + 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)} - \frac{\csc (θ) - 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\csc (θ) + 1 - (\csc (θ) - 1)}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

解题步骤 3

化简分子。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

运用分配律。

$\frac{\csc (θ) + 1 - \csc (θ) - - 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

解题步骤 3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\csc (θ) + 1 - \csc (θ) + 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

解题步骤 3.2

从 $\csc (θ)$ 中减去 $\csc (θ)$ 。

$\frac{0 + 1 + 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1 + 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

解题步骤 3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

解题步骤 4

化简分母。

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解题步骤 4.1

使用 FOIL 方法展开 $(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)$ 。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{2}{\csc (θ) (\csc (θ) - 1) + 1 (\csc (θ) - 1)}$

解题步骤 4.1.2

运用分配律。

$\frac{2}{\csc (θ) \csc (θ) + \csc (θ) \cdot - 1 + 1 (\csc (θ) - 1)}$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$\frac{2}{\csc (θ) \csc (θ) + \csc (θ) \cdot - 1 + 1 \csc (θ) + 1 \cdot - 1}$

解题步骤 4.2

化简并合并同类项。

$\frac{2}{\csc^{2} (θ) - 1}$

解题步骤 5

使用勾股恒等式。

$\frac{2}{\cot^{2} (θ)}$

解题步骤 6

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 6.1

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (θ)$ 。

$\frac{2}{{(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}}$

解题步骤 6.2

对 $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ 运用乘积法则。

$\frac{2}{\frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将分子乘以分母的倒数。

$2 \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

解题步骤 7.2

组合 $2$ 和 $\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$ 。

$\frac{2 \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

解题步骤 8

将 $\frac{2 \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ 重写为 $2 \tan^{2} (θ)$ 。

$2 \tan^{2} (θ)$

解题步骤 9

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1} = 2 \tan^{2} (θ)$ 是一个恒等式

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