三角学示例

$4 \cos (x) = - \sin^{2} (x) + 1$

解题步骤 1

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $\sin^{2} (x)$ 。

$4 \cos (x) + \sin^{2} (x) = 1$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$4 \cos (x) + \sin^{2} (x) - 1 = 0$

解题步骤 2

化简 $4 \cos (x) + \sin^{2} (x) - 1$ 。

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解题步骤 2.1

将 $\sin^{2} (x)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$4 \cos (x) - 1 + \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$4 \cos (x) - 1 (1) + \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.3

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$4 \cos (x) - 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.4

从 $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$4 \cos (x) - 1 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.5

将 $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ 重写为 $- (1 - \sin^{2} (x))$ 。

$4 \cos (x) - (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.6

使用勾股恒等式。

$4 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.1.1

使 $u = \cos (x)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\cos (x)$ 。

$4 u - u^{2} = 0$

解题步骤 3.1.2

从 $4 u - u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

从 $4 u$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot 4 - u^{2} = 0$

解题步骤 3.1.2.2

从 $- u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot 4 + u (- u) = 0$

解题步骤 3.1.2.3

从 $u \cdot 4 + u (- u)$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (4 - u) = 0$

解题步骤 3.1.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (x) (4 - \cos (x)) = 0$

解题步骤 3.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

$4 - \cos (x) = 0$

解题步骤 3.3

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 3.3.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 3.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 3.3.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.3.2.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.3.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 3.3.2.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.3.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 3.3.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 3.3.2.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 3.3.2.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.3.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.3.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.3.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.3.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.3.2.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.4

将 $4 - \cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $4 - \cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$4 - \cos (x) = 0$

解题步骤 3.4.2

求解 $x$ 的 $4 - \cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$- \cos (x) = - 4$

解题步骤 3.4.2.2

将 $- \cos (x) = - 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.2.1

将 $- \cos (x) = - 4$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.2.2.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.2.3.1

用 $- 4$ 除以 $- 1$ 。

$\cos (x) = 4$

解题步骤 3.4.2.3

余弦的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $4$ 不在值域中，所以无解。

无解

解题步骤 3.5

最终解为使 $\cos (x) (4 - \cos (x)) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

合并答案。

$x = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

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