三角学示例

$9 \sec^{2} (θ) \tan (θ) = 12 \tan (θ)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $12 \tan (θ)$ 。

$9 \sec^{2} (θ) \tan (θ) - 12 \tan (θ) = 0$

解题步骤 2

从 $9 \sec^{2} (θ) \tan (θ) - 12 \tan (θ)$ 中分解出因数 $3 \tan (θ)$ 。

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解题步骤 2.1

从 $9 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$ 中分解出因数 $3 \tan (θ)$ 。

$3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ)) - 12 \tan (θ) = 0$

解题步骤 2.2

从 $- 12 \tan (θ)$ 中分解出因数 $3 \tan (θ)$ 。

$3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ)) + 3 \tan (θ) \cdot - 4 = 0$

解题步骤 2.3

从 $3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ)) + 3 \tan (θ) \cdot - 4$ 中分解出因数 $3 \tan (θ)$ 。

$3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ) - 4) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\tan (θ) = 0$

$3 \sec^{2} (θ) - 4 = 0$

解题步骤 4

将 $\tan (θ)$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\tan (θ)$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (θ) = 0$

解题步骤 4.2

求解 $θ$ 的 $\tan (θ) = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $θ$ 。

$θ = \arctan (0)$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$θ = 0$

解题步骤 4.2.3

正切函数在第一和第三象限为正值。若要求第二个解，应从 $180$ 中减去参考角以求得第四象限中的解。

$θ = 180 + 0$

解题步骤 4.2.4

将 $180$ 和 $0$ 相加。

$θ = 180$

解题步骤 4.2.5

求 $\tan (θ)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{180}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{180}{| b |}$

解题步骤 4.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{180}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{180}{1}$

解题步骤 4.2.5.4

用 $180$ 除以 $1$ 。

$180$

解题步骤 4.2.6

$\tan (θ)$ 函数的周期为 $180$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $180$ 度数重复出现。

$θ = 180 n, 180 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $3 \sec^{2} (θ) - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 5.1

将 $3 \sec^{2} (θ) - 4$ 设为等于 $0$ 。

$3 \sec^{2} (θ) - 4 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $θ$ 的 $3 \sec^{2} (θ) - 4 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$3 \sec^{2} (θ) = 4$

解题步骤 5.2.2

将 $3 \sec^{2} (θ) = 4$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $3 \sec^{2} (θ) = 4$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 \sec^{2} (θ)}{3} = \frac{4}{3}$

解题步骤 5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 \sec^{2} (θ)}{3} = \frac{4}{3}$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

用 $\sec^{2} (θ)$ 除以 $1$ 。

$\sec^{2} (θ) = \frac{4}{3}$

解题步骤 5.2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sec (θ) = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

解题步骤 5.2.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $\sqrt{\frac{4}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ 。

$\sec (θ) = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.2.4.2

化简分子。

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解题步骤 5.2.4.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sec (θ) = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.2.4.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\sec (θ) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.2.4.3

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\sec (θ) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.2.4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 5.2.4.4.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 5.2.4.4.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 5.2.4.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 5.2.4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.2.4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 5.2.4.4.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 5.2.4.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.2.4.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.2.4.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.2.4.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.4.6.4.1

约去公因数。

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.2.4.4.6.4.2

重写表达式。

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 5.2.4.4.6.5

计算指数。

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.2.6

建立每一个解以求解 $θ$ 。

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.2.7

在 $\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 5.2.7.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $θ$ 。

$θ = arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 5.2.7.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.7.2.1

$arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 的准确值为 $30$ 。

$θ = 30$

解题步骤 5.2.7.3

正割函数在第一象限和第斯象限为负。要求第二个解，应从 $360$ 中减去参考角以求第四象限中的解。

$θ = 360 - 30$

解题步骤 5.2.7.4

从 $360$ 中减去 $30$ 。

$θ = 330$

解题步骤 5.2.7.5

求 $\sec (θ)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.7.5.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 5.2.7.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 5.2.7.5.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 5.2.7.6

$\sec (θ)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$θ = 30 + 360 n, 330 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.8

在 $\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 5.2.8.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $θ$ 。

$θ = arcsec (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 5.2.8.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.8.2.1

$arcsec (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 的准确值为 $150$ 。

$θ = 150$

解题步骤 5.2.8.3

正割函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $360$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$θ = 360 - 150$

解题步骤 5.2.8.4

从 $360$ 中减去 $150$ 。

$θ = 210$

解题步骤 5.2.8.5

求 $\sec (θ)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.8.5.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 5.2.8.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.8.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 5.2.8.5.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 5.2.8.6

$\sec (θ)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$θ = 150 + 360 n, 210 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.9

列出所有解。

$θ = 30 + 360 n, 330 + 360 n, 150 + 360 n, 210 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.10

合并解集。

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解题步骤 5.2.10.1

将 $30 + 360 n$ 和 $210 + 360 n$ 合并为 $30 + 180 n$ 。

$θ = 30 + 180 n, 330 + 360 n, 150 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.10.2

将 $330 + 360 n$ 和 $150 + 360 n$ 合并为 $150 + 180 n$ 。

$θ = 30 + 180 n, 150 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

最终解为使 $3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ) - 4) = 0$ 成立的所有值。

$θ = 180 n, 180 + 180 n, 30 + 180 n, 150 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

将 $180 n$ 和 $180 + 180 n$ 合并为 $180 n$ 。

$θ = 180 n, 30 + 180 n, 150 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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