三角学示例

$6 \sec^{2} (θ) \tan (θ) = 12 \tan (θ)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $12 \tan (θ)$ 。

$6 \sec^{2} (θ) \tan (θ) - 12 \tan (θ) = 0$

解题步骤 2

从 $6 \sec^{2} (θ) \tan (θ) - 12 \tan (θ)$ 中分解出因数 $6 \tan (θ)$ 。

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解题步骤 2.1

从 $6 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$ 中分解出因数 $6 \tan (θ)$ 。

$6 \tan (θ) \sec^{2} (θ) - 12 \tan (θ) = 0$

解题步骤 2.2

从 $- 12 \tan (θ)$ 中分解出因数 $6 \tan (θ)$ 。

$6 \tan (θ) \sec^{2} (θ) + 6 \tan (θ) \cdot - 2 = 0$

解题步骤 2.3

从 $6 \tan (θ) \sec^{2} (θ) + 6 \tan (θ) \cdot - 2$ 中分解出因数 $6 \tan (θ)$ 。

$6 \tan (θ) (\sec^{2} (θ) - 2) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\tan (θ) = 0$

$\sec^{2} (θ) - 2 = 0$

解题步骤 4

将 $\tan (θ)$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\tan (θ)$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (θ) = 0$

解题步骤 4.2

求解 $θ$ 的 $\tan (θ) = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $θ$ 。

$θ = \arctan (0)$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$θ = 0$

解题步骤 4.2.3

正切函数在第一和第三象限为正值。若要求第二个解，应从 $180$ 中减去参考角以求得第四象限中的解。

$θ = 180 + 0$

解题步骤 4.2.4

将 $180$ 和 $0$ 相加。

$θ = 180$

解题步骤 4.2.5

求 $\tan (θ)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{180}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{180}{| b |}$

解题步骤 4.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{180}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{180}{1}$

解题步骤 4.2.5.4

用 $180$ 除以 $1$ 。

$180$

解题步骤 4.2.6

$\tan (θ)$ 函数的周期为 $180$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $180$ 度数重复出现。

$θ = 180 n, 180 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $\sec^{2} (θ) - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\sec^{2} (θ) - 2$ 设为等于 $0$ 。

$\sec^{2} (θ) - 2 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $θ$ 的 $\sec^{2} (θ) - 2 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$\sec^{2} (θ) = 2$

解题步骤 5.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sec (θ) = \pm \sqrt{2}$

解题步骤 5.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sec (θ) = \sqrt{2}$

解题步骤 5.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sec (θ) = - \sqrt{2}$

解题步骤 5.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sec (θ) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 5.2.4

建立每一个解以求解 $θ$ 。

$\sec (θ) = \sqrt{2}$

$\sec (θ) = - \sqrt{2}$

解题步骤 5.2.5

在 $\sec (θ) = \sqrt{2}$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 5.2.5.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $θ$ 。

$θ = arcsec (\sqrt{2})$

解题步骤 5.2.5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.5.2.1

$arcsec (\sqrt{2})$ 的准确值为 $45$ 。

$θ = 45$

解题步骤 5.2.5.3

正割函数在第一象限和第斯象限为负。要求第二个解，应从 $360$ 中减去参考角以求第四象限中的解。

$θ = 360 - 45$

解题步骤 5.2.5.4

从 $360$ 中减去 $45$ 。

$θ = 315$

解题步骤 5.2.5.5

求 $\sec (θ)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.5.5.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 5.2.5.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.5.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 5.2.5.5.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 5.2.5.6

$\sec (θ)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$θ = 45 + 360 n, 315 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.6

在 $\sec (θ) = - \sqrt{2}$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 5.2.6.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $θ$ 。

$θ = arcsec (- \sqrt{2})$

解题步骤 5.2.6.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.6.2.1

$arcsec (- \sqrt{2})$ 的准确值为 $135$ 。

$θ = 135$

解题步骤 5.2.6.3

正割函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $360$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$θ = 360 - 135$

解题步骤 5.2.6.4

从 $360$ 中减去 $135$ 。

$θ = 225$

解题步骤 5.2.6.5

求 $\sec (θ)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.6.5.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 5.2.6.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.6.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 5.2.6.5.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 5.2.6.6

$\sec (θ)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$θ = 135 + 360 n, 225 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.7

列出所有解。

$θ = 45 + 360 n, 315 + 360 n, 135 + 360 n, 225 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.8

合并答案。

$θ = 45 + 90 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

最终解为使 $6 \tan (θ) (\sec^{2} (θ) - 2) = 0$ 成立的所有值。

$θ = 180 n, 180 + 180 n, 45 + 90 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

将 $180 n$ 和 $180 + 180 n$ 合并为 $180 n$ 。

$θ = 180 n, 45 + 90 n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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