三角学示例

$\cos (2 θ) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $θ$ 。

$2 θ = \arccos (- \frac{1}{2})$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{2 π}{3}$ 。

$2 θ = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 3

将 $2 θ = \frac{2 π}{3}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.1

将 $2 θ = \frac{2 π}{3}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

解题步骤 3.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$θ = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 3.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$θ = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 3.3.2.2

约去公因数。

$θ = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 3.3.2.3

重写表达式。

$θ = \frac{π}{3}$

解题步骤 4

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$2 θ = 2 π - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5

求解 $θ$ 。

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解题步骤 5.1

化简。

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解题步骤 5.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.1.2

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$2 θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.1.3

在公分母上合并分子。

$2 θ = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

解题步骤 5.1.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$2 θ = \frac{6 π - 2 π}{3}$

解题步骤 5.1.5

从 $6 π$ 中减去 $2 π$ 。

$2 θ = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 5.2

将 $2 θ = \frac{4 π}{3}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $2 θ = \frac{4 π}{3}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

解题步骤 5.2.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$θ = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.1

从 $4 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$θ = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.3.2.2

约去公因数。

$θ = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.3.2.3

重写表达式。

$θ = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 6

求 $\cos (2 θ)$ 的周期。

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解题步骤 6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 6.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 7

$\cos (2 θ)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

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