三角学示例

$(4 \sqrt{2}, \frac{5 π}{4})$

解题步骤 1

使用转换公式将极坐标转换为直角坐标。

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

解题步骤 2

将 $r = 4 \sqrt{2}$ 和 $θ = \frac{5 π}{4}$ 的已知值代入公式中。

$x = (4 \sqrt{2}) \cos (\frac{5 π}{4})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$x = 4 \sqrt{2} (- \cos (\frac{π}{4}))$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$x = 4 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1

将 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$x = 4 \sqrt{2} (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 5.2

从 $4 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 2 (2 \sqrt{2}) (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 5.3

约去公因数。

$x = 2 (2 \sqrt{2}) (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 5.4

重写表达式。

$x = 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

$x = 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x = - 2 \sqrt{2} \sqrt{2}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 7

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = - 2 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = - 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = - 2 {\sqrt{2}}^{2}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 10

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = - 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.1

约去公因数。

$x = - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 10.4.2

重写表达式。

$x = - 2 \cdot 2$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

$x = - 2 \cdot 2$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 10.5

计算指数。

$x = - 2 \cdot 2$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

$x = - 2 \cdot 2$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 11

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$x = - 4$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 12

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$x = - 4$

$y = 4 \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

解题步骤 13

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$x = - 4$

$y = 4 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 14

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.1

将 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$x = - 4$

$y = 4 \sqrt{2} (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

解题步骤 14.2

从 $4 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = - 4$

$y = 2 (2 \sqrt{2}) (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

解题步骤 14.3

约去公因数。

$x = - 4$

$y = 2 (2 \sqrt{2}) (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

解题步骤 14.4

重写表达式。

$x = - 4$

$y = 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

$x = - 4$

$y = 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

解题步骤 15

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x = - 4$

$y = - 2 \sqrt{2} \sqrt{2}$

解题步骤 16

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = - 4$

$y = - 2 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

解题步骤 17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = - 4$

$y = - 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

解题步骤 18

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = - 4$

$y = - 2 {\sqrt{2}}^{2}$

解题步骤 19

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 19.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = - 4$

$y = - 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 19.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = - 4$

$y = - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 19.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = - 4$

$y = - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 19.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.4.1

约去公因数。

$x = - 4$

$y = - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 19.4.2

重写表达式。

$x = - 4$

$y = - 2 \cdot 2$

$x = - 4$

$y = - 2 \cdot 2$

解题步骤 19.5

计算指数。

$x = - 4$

$y = - 2 \cdot 2$

$x = - 4$

$y = - 2 \cdot 2$

解题步骤 20

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$x = - 4$

$y = - 4$

解题步骤 21

极点 $(4 \sqrt{2}, \frac{5 π}{4})$ 的矩形表示为 $(- 4, - 4)$ 。

$(- 4, - 4)$

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