三角学示例

$- 4 \sin (x) = - \cos^{2} (x) + 1$

解题步骤 1

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $\cos^{2} (x)$ 。

$- 4 \sin (x) + \cos^{2} (x) = 1$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 4 \sin (x) + \cos^{2} (x) - 1 = 0$

解题步骤 2

化简 $- 4 \sin (x) + \cos^{2} (x) - 1$ 。

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解题步骤 2.1

将 $\cos^{2} (x)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$- 4 \sin (x) - 1 + \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$- 4 \sin (x) - 1 (1) + \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.3

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- 4 \sin (x) - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.4

从 $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- 4 \sin (x) - 1 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.5

将 $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ 重写为 $- (1 - \cos^{2} (x))$ 。

$- 4 \sin (x) - (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.6

使用勾股恒等式。

$- 4 \sin (x) - \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.1.1

使 $u = \sin (x)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\sin (x)$ 。

$- 4 u - u^{2} = 0$

解题步骤 3.1.2

从 $- 4 u - u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

从 $- 4 u$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot - 4 - u^{2} = 0$

解题步骤 3.1.2.2

从 $- u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot - 4 + u (- u) = 0$

解题步骤 3.1.2.3

从 $u \cdot - 4 + u (- u)$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (- 4 - u) = 0$

解题步骤 3.1.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sin (x) (- 4 - \sin (x)) = 0$

解题步骤 3.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

$- 4 - \sin (x) = 0$

解题步骤 3.3

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 3.3.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 3.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.3.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 3.3.2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 3.3.2.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.3.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.3.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.3.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.3.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.3.2.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.4

将 $- 4 - \sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $- 4 - \sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$- 4 - \sin (x) = 0$

解题步骤 3.4.2

求解 $x$ 的 $- 4 - \sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$- \sin (x) = 4$

解题步骤 3.4.2.2

将 $- \sin (x) = 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.2.1

将 $- \sin (x) = 4$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{4}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.2.2.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{4}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.2.3.1

用 $4$ 除以 $- 1$ 。

$\sin (x) = - 4$

解题步骤 3.4.2.3

正弦函数的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $- 4$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 3.5

最终解为使 $\sin (x) (- 4 - \sin (x)) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

合并答案。

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

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