三角学示例

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

解题步骤 1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos (x)$ 和 $b = \sin (x)$ 。

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

合并 $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ 中相反的项。

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解题步骤 3.1.1

按照 $\cos (x) (- \sin (x))$ 和 $\sin (x) \cos (x)$ 重新排列因数。

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 3.1.2

将 $- \cos (x) \sin (x)$ 和 $\cos (x) \sin (x)$ 相加。

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 3.1.3

将 $\cos (x) \cos (x)$ 和 $0$ 相加。

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 3.2.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 3.2.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 3.2.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 3.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

解题步骤 3.2.3

乘以 $- \sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

解题步骤 3.2.3.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

解题步骤 3.2.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

解题步骤 3.2.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

解题步骤 4

使用余弦倍角公式。

$\cos (2 x)$

解题步骤 5

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 6

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 7

代入 $a = \cos (2 x)$ 和 $b = 0$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{0^{2} + \cos^{2} (2 x)}$

解题步骤 8

求 $| z |$ 。

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解题步骤 8.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \cos^{2} (2 x)}$

解题步骤 8.2

将 $0$ 和 $\cos^{2} (2 x)$ 相加。

$| z | = \sqrt{\cos^{2} (2 x)}$

解题步骤 8.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = \cos (2 x)$

解题步骤 9

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{0}{\cos (2 x)})$

解题步骤 10

代入 $θ = \arctan (\frac{0}{\cos (2 x)})$ 和 $| z | = \cos (2 x)$ 的值。

$\cos (2 x) (\cos (\arctan (\frac{0}{\cos (2 x)})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\cos (2 x)})))$

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