三角学示例

$\sin (θ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 1

化简 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 1.2

合并和化简分母。

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解题步骤 1.2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 1.2.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 1.2.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 1.2.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.4.1

约去公因数。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.6.4.2

重写表达式。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 1.2.6.5

计算指数。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $θ$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 3

化简右边。

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解题步骤 3.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $45$ 。

$θ = 45$

解题步骤 4

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$θ = 180 - 45$

解题步骤 5

从 $180$ 中减去 $45$ 。

$θ = 135$

解题步骤 6

求 $\sin (θ)$ 的周期。

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解题步骤 6.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 6.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 7

$\sin (θ)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$θ = 45 + 360 n, 135 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

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