三角学示例

$2 \tan^{2} (θ) + \tan (θ) = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

使 $u = \tan (θ)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\tan (θ)$ 。

$2 u^{2} + u = 0$

解题步骤 1.2

从 $2 u^{2} + u$ 中分解出因数 $u$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $2 u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (2 u) + u = 0$

解题步骤 1.2.2

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$u (2 u) + u = 0$

解题步骤 1.2.3

从 $u^{1}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (2 u) + u \cdot 1 = 0$

解题步骤 1.2.4

从 $u (2 u) + u \cdot 1$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (2 u + 1) = 0$

解题步骤 1.3

使用 $\tan (θ)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\tan (θ) (2 \tan (θ) + 1) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\tan (θ) = 0$

$2 \tan (θ) + 1 = 0$

解题步骤 3

将 $\tan (θ)$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\tan (θ)$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (θ) = 0$

解题步骤 3.2

求解 $θ$ 的 $\tan (θ) = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $θ$ 。

$θ = \arctan (0)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$θ = 0$

解题步骤 3.2.3

正切函数在第一和第三象限为正值。若要求第二个解，应从 $180$ 中减去参考角以求得第四象限中的解。

$θ = 180 + 0$

解题步骤 3.2.4

将 $180$ 和 $0$ 相加。

$θ = 180$

解题步骤 3.2.5

求 $\tan (θ)$ 的周期。

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解题步骤 3.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{180}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{180}{| b |}$

解题步骤 3.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{180}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{180}{1}$

解题步骤 3.2.5.4

用 $180$ 除以 $1$ 。

$180$

解题步骤 3.2.6

$\tan (θ)$ 函数的周期为 $180$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $180$ 度数重复出现。

$θ = 180 n, 180 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

将 $2 \tan (θ) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 4.1

将 $2 \tan (θ) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 \tan (θ) + 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $θ$ 的 $2 \tan (θ) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 \tan (θ) = - 1$

解题步骤 4.2.2

将 $2 \tan (θ) = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $2 \tan (θ) = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 4.2.2.2.1.2

用 $\tan (θ)$ 除以 $1$ 。

$\tan (θ) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\tan (θ) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2.3

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $θ$ 。

$θ = \arctan (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.2.4

化简右边。

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解题步骤 4.2.4.1

计算 $\arctan (- \frac{1}{2})$ 。

$θ = - 26.56505117$

解题步骤 4.2.5

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $180$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$θ = - 26.56505117 - 180$

解题步骤 4.2.6

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 4.2.6.1

将 $360 °$ 加上 $- 26.56505117 - 180 °$ 。

$θ = - 26.56505117 - 180 ° + 360 °$

解题步骤 4.2.6.2

得出的角 $153.43494882 °$ 是正角度且与 $- 26.56505117 - 180$ 共边。

$θ = 153.43494882 °$

解题步骤 4.2.7

求 $\tan (θ)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{180}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{180}{| b |}$

解题步骤 4.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{180}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{180}{1}$

解题步骤 4.2.7.4

用 $180$ 除以 $1$ 。

$180$

解题步骤 4.2.8

将 $180$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 4.2.8.1

将 $180$ 加到 $- 26.56505117$ 以求正角。

$- 26.56505117 + 180$

解题步骤 4.2.8.2

从 $180$ 中减去 $26.56505117$ 。

$153.43494882$

解题步骤 4.2.8.3

列出新角。

$θ = 153.43494882$

解题步骤 4.2.9

$\tan (θ)$ 函数的周期为 $180$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $180$ 度数重复出现。

$θ = 153.43494882 + 180 n, 153.43494882 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

最终解为使 $\tan (θ) (2 \tan (θ) + 1) = 0$ 成立的所有值。

$θ = 180 n, 180 + 180 n, 153.43494882 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

将 $180 n$ 和 $180 + 180 n$ 合并为 $180 n$ 。

$θ = 180 n, 153.43494882 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

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