三角学示例

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} = \tan (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

要将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ 。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

解题步骤 2.2

要将 $- \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $\cos (x) (1 + \sin (x))$ 的形式。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ 。

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ 乘以 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

解题步骤 2.3.3

重新排序 $(1 + \sin (x)) \cos (x)$ 的因式。

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + \sin (x) - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 2.5

化简分子。

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解题步骤 2.5.1

乘以 $- \cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.5.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 + \sin (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 2.5.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 + \sin (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 2.5.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 + \sin (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 2.5.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1 + \sin (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 2.5.2

移动 $- \cos^{2} (x)$ 。

$\frac{1 - \cos^{2} (x) + \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 2.5.3

使用勾股恒等式。

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 2.5.4

从 $\sin^{2} (x) + \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 2.5.4.1

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 2.5.4.2

乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 2.5.4.3

从 $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + 1)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 2.6

约去 $\sin (x) + 1$ 和 $1 + \sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1

重新排序项。

$\frac{\sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 2.6.2

约去公因数。

$\frac{\sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 2.6.3

重写表达式。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 重写为 $\tan (x)$ 。

$\tan (x)$

解题步骤 4

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} = \tan (x)$ 是一个恒等式

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