三角学示例

$(\cot (θ) - \sqrt{3}) (\sqrt{2} \sin (θ) + 1) = 0$

解题步骤 1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$

$\sqrt{2} \sin (θ) + 1 = 0$

解题步骤 2

将 $\cot (θ) - \sqrt{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $\cot (θ) - \sqrt{3}$ 设为等于 $0$ 。

$\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$

解题步骤 2.2

求解 $θ$ 的 $\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

在等式两边都加上 $\sqrt{3}$ 。

$\cot (θ) = \sqrt{3}$

解题步骤 2.2.2

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $θ$ 。

$θ = arccot (\sqrt{3})$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1

$arccot (\sqrt{3})$ 的准确值为 $30$ 。

$θ = 30$

解题步骤 2.2.4

余切函数在第一象限和第三象限恒为正。要求第二个解，从 $180$ 中减去参考角即可求得第四象限的解。

$θ = 180 + 30$

解题步骤 2.2.5

将 $180$ 和 $30$ 相加。

$θ = 210$

解题步骤 2.2.6

求 $\cot (θ)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{180}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{180}{| b |}$

解题步骤 2.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{180}{| 1 |}$

解题步骤 2.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{180}{1}$

解题步骤 2.2.6.4

用 $180$ 除以 $1$ 。

$180$

解题步骤 2.2.7

$\cot (θ)$ 函数的周期为 $180$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $180$ 度数重复出现。

$θ = 30 + 180 n, 210 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

将 $\sqrt{2} \sin (θ) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $\sqrt{2} \sin (θ) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$\sqrt{2} \sin (θ) + 1 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $θ$ 的 $\sqrt{2} \sin (θ) + 1 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\sqrt{2} \sin (θ) = - 1$

解题步骤 3.2.2

将 $\sqrt{2} \sin (θ) = - 1$ 中的每一项除以 $\sqrt{2}$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

将 $\sqrt{2} \sin (θ) = - 1$ 中的每一项都除以 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.2.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.2.1

约去 $\sqrt{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.2.2.2.1.2

用 $\sin (θ)$ 除以 $1$ 。

$\sin (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.2.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sin (θ) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.2.2.3.2

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 3.2.2.3.3

合并和化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.3.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.2.2.3.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.2.2.3.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 3.2.2.3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.2.2.3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 3.2.2.3.3.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.3.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.2.2.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.2.3.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.2.2.3.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.2.2.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 3.2.2.3.3.6.5

计算指数。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $θ$ 。

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 3.2.4

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.4.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $- 45$ 。

$θ = - 45$

解题步骤 3.2.5

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $360$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $180$ 相加以求第三象限中的解。

$θ = 360 + 45 + 180$

解题步骤 3.2.6

化简表达式以求第二个解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.6.1

从 $360 + 45 + 180 °$ 中减去 $360 °$ 。

$θ = 360 + 45 + 180 ° - 360 °$

解题步骤 3.2.6.2

得出的角 $225 °$ 是正角度，比 $360 °$ 小，且与 $360 + 45 + 180$ 共边。

$θ = 225 °$

解题步骤 3.2.7

求 $\sin (θ)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 3.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 3.2.7.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 3.2.8

将 $360$ 和每一个负角相加以得出正角。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.8.1

将 $360$ 加到 $- 45$ 以求正角。

$- 45 + 360$

解题步骤 3.2.8.2

从 $360$ 中减去 $45$ 。

$315$

解题步骤 3.2.8.3

列出新角。

$θ = 315$

解题步骤 3.2.9

$\sin (θ)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$θ = 225 + 360 n, 315 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

最终解为使 $(\cot (θ) - \sqrt{3}) (\sqrt{2} \sin (θ) + 1) = 0$ 成立的所有值。

$θ = 30 + 180 n, 210 + 180 n, 225 + 360 n, 315 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $30 + 180 n$ 和 $210 + 180 n$ 合并为 $30 + 180 n$ 。

$θ = 30 + 180 n, 225 + 360 n, 315 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

三角学示例