统计学示例

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 4 & 0.4 \\ 7 & 0.2 \\ 9 & 0.1 \\ 11 & 0.1 \\ 13 & 0.1 \\ 17 & 0.1 \end{array}$

Step 1

证明给定的表格满足概率分布的两个性质。

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取自独立值集合（例如 $0$ 、 $1$ 、 $2$ ……）的离散随机变量 $x$ 。其概率分布将概率 $x$ 赋值给每一个可能值 $P (x)$ 。对于每一个 $x$ ，概率 $P (x)$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，且所有可能 $x$ 值的概率之和等于 $1$ 。

1. 对每一个 $x$ ， $0 \leq P (x) \leq 1$ 。

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

$0.4$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.4$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

$0.2$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.2$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

$0.1$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.1$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

对于每一个 $x$ ，概率 $P (x)$ 都介于 $0$ 和 $1$ 的闭区间之内，这满足了概率分布的第一条性质。

对所有 x 值的 $0 \leq P (x) \leq 1$

求所有可能 $x$ 值的概率之和。

$0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1$

所有可能 $x$ 值的概率之和为 $0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 1$ 。

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将 $0.4$ 和 $0.2$ 相加。

$0.6 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1$

将 $0.6$ 和 $0.1$ 相加。

$0.7 + 0.1 + 0.1 + 0.1$

将 $0.7$ 和 $0.1$ 相加。

$0.8 + 0.1 + 0.1$

将 $0.8$ 和 $0.1$ 相加。

$0.9 + 0.1$

将 $0.9$ 和 $0.1$ 相加。

$1$

对于每一个 $x$ ， $P (x)$ 的概率都介于 $0$ 和 $1$ 的闭区间内。此外，所有可能的 $x$ 的概率之和等于 $1$ ，这表示该表满足概率分布的两条性质。

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有 $x$ 值满足 $0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2： $0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 1$

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有 $x$ 值满足 $0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2： $0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 1$

Step 2

如果分布的试验可以无限地继续下去，那么该分布的平均期望值为期望值。这等于每一个值乘以其离散概率。

$4 \cdot 0.4 + 7 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1$

Step 3

化简每一项。

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将 $4$ 乘以 $0.4$ 。

$1.6 + 7 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1$

将 $7$ 乘以 $0.2$ 。

$1.6 + 1.4 + 9 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1$

将 $9$ 乘以 $0.1$ 。

$1.6 + 1.4 + 0.9 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1$

将 $11$ 乘以 $0.1$ 。

$1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1$

将 $13$ 乘以 $0.1$ 。

$1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 17 \cdot 0.1$

将 $17$ 乘以 $0.1$ 。

$1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7$

Step 4

通过加上各数进行化简。

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将 $1.6$ 和 $1.4$ 相加。

$3 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7$

将 $3$ 和 $0.9$ 相加。

$3.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7$

将 $3.9$ 和 $1.1$ 相加。

$5 + 1.3 + 1.7$

将 $5$ 和 $1.3$ 相加。

$6.3 + 1.7$

将 $6.3$ 和 $1.7$ 相加。

$8$

Step 5

分布的标准差是对离差的量度并且等于方差的平方根。

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

Step 6

填入已知值。

$\sqrt{{(4 - (8))}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Step 7

化简表达式。

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将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\sqrt{{(4 - 8)}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$\sqrt{{(- 4)}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{16 \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

将 $16$ 乘以 $0.4$ 。

$\sqrt{6.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\sqrt{6.4 + {(7 - 8)}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

从 $7$ 中减去 $8$ 。

$\sqrt{6.4 + {(- 1)}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{6.4 + 1 \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

将 $0.2$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{6.4 + 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\sqrt{6.4 + 0.2 + {(9 - 8)}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

从 $9$ 中减去 $8$ 。

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 1^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 1 \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

将 $0.1$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + {(11 - 8)}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

从 $11$ 中减去 $8$ 。

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 3^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 9 \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

将 $9$ 乘以 $0.1$ 。

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + {(13 - 8)}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

从 $13$ 中减去 $8$ 。

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 5^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 25 \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

将 $25$ 乘以 $0.1$ 。

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + {(17 - 8)}^{2} \cdot 0.1}$

从 $17$ 中减去 $8$ 。

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 9^{2} \cdot 0.1}$

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 81 \cdot 0.1}$

将 $81$ 乘以 $0.1$ 。

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 8.1}$

将 $6.4$ 和 $0.2$ 相加。

$\sqrt{6.6 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 8.1}$

将 $6.6$ 和 $0.1$ 相加。

$\sqrt{6.7 + 0.9 + 2.5 + 8.1}$

将 $6.7$ 和 $0.9$ 相加。

$\sqrt{7.6 + 2.5 + 8.1}$

将 $7.6$ 和 $2.5$ 相加。

$\sqrt{10.1 + 8.1}$

将 $10.1$ 和 $8.1$ 相加。

$\sqrt{18.2}$

Step 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\sqrt{18.2}$

小数形式：

$4.26614580 \dots$

统计学 示例

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