统计学示例

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.2 \\ 3 & 0.2 \\ 5 & 0.3 \\ 8 & 0.1 \\ 10 & 0.2 \end{array}$

Step 1

证明给定的表格满足概率分布的两个性质。

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取自独立值集合（例如 $0$ 、 $1$ 、 $2$ ……）的离散随机变量 $x$ 。其概率分布将概率 $x$ 赋值给每一个可能值 $P (x)$ 。对于每一个 $x$ ，概率 $P (x)$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，且所有可能 $x$ 值的概率之和等于 $1$ 。

1. 对每一个 $x$ ， $0 \leq P (x) \leq 1$ 。

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

$0.2$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.2$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

$0.3$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.3$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

$0.1$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.1$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

$0.2$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.2$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

对于每一个 $x$ ，概率 $P (x)$ 都介于 $0$ 和 $1$ 的闭区间之内，这满足了概率分布的第一条性质。

对所有 x 值的 $0 \leq P (x) \leq 1$

求所有可能 $x$ 值的概率之和。

$0.2 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2$

所有可能 $x$ 值的概率之和为 $0.2 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 = 1$ 。

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将 $0.2$ 和 $0.2$ 相加。

$0.4 + 0.3 + 0.1 + 0.2$

将 $0.4$ 和 $0.3$ 相加。

$0.7 + 0.1 + 0.2$

将 $0.7$ 和 $0.1$ 相加。

$0.8 + 0.2$

将 $0.8$ 和 $0.2$ 相加。

$1$

对于每一个 $x$ ， $P (x)$ 的概率都介于 $0$ 和 $1$ 的闭区间内。此外，所有可能的 $x$ 的概率之和等于 $1$ ，这表示该表满足概率分布的两条性质。

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有 $x$ 值满足 $0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2： $0.2 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 = 1$

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有 $x$ 值满足 $0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2： $0.2 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 = 1$

Step 2

如果分布的试验可以无限地继续下去，那么该分布的平均期望值为期望值。这等于每一个值乘以其离散概率。

$1 \cdot 0.2 + 3 \cdot 0.2 + 5 \cdot 0.3 + 8 \cdot 0.1 + 10 \cdot 0.2$

Step 3

化简每一项。

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将 $0.2$ 乘以 $1$ 。

$0.2 + 3 \cdot 0.2 + 5 \cdot 0.3 + 8 \cdot 0.1 + 10 \cdot 0.2$

将 $3$ 乘以 $0.2$ 。

$0.2 + 0.6 + 5 \cdot 0.3 + 8 \cdot 0.1 + 10 \cdot 0.2$

将 $5$ 乘以 $0.3$ 。

$0.2 + 0.6 + 1.5 + 8 \cdot 0.1 + 10 \cdot 0.2$

将 $8$ 乘以 $0.1$ 。

$0.2 + 0.6 + 1.5 + 0.8 + 10 \cdot 0.2$

将 $10$ 乘以 $0.2$ 。

$0.2 + 0.6 + 1.5 + 0.8 + 2$

Step 4

通过加上各数进行化简。

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将 $0.2$ 和 $0.6$ 相加。

$0.8 + 1.5 + 0.8 + 2$

将 $0.8$ 和 $1.5$ 相加。

$2.3 + 0.8 + 2$

将 $2.3$ 和 $0.8$ 相加。

$3.1 + 2$

将 $3.1$ 和 $2$ 相加。

$5.1$

Step 5

分布的标准差是对离差的量度并且等于方差的平方根。

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

Step 6

填入已知值。

$\sqrt{{(1 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(3 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

Step 7

化简表达式。

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将 $- 1$ 乘以 $5.1$ 。

$\sqrt{{(1 - 5.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(3 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

从 $1$ 中减去 $5.1$ 。

$\sqrt{{(- 4.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(3 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

对 $- 4.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{16.81 \cdot 0.2 + {(3 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

将 $16.81$ 乘以 $0.2$ 。

$\sqrt{3.362 + {(3 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

将 $- 1$ 乘以 $5.1$ 。

$\sqrt{3.362 + {(3 - 5.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

从 $3$ 中减去 $5.1$ 。

$\sqrt{3.362 + {(- 2.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

对 $- 2.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{3.362 + 4.41 \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

将 $4.41$ 乘以 $0.2$ 。

$\sqrt{3.362 + 0.882 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

将 $- 1$ 乘以 $5.1$ 。

$\sqrt{3.362 + 0.882 + {(5 - 5.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

从 $5$ 中减去 $5.1$ 。

$\sqrt{3.362 + 0.882 + {(- 0.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

对 $- 0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.01 \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

将 $0.01$ 乘以 $0.3$ 。

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

将 $- 1$ 乘以 $5.1$ 。

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + {(8 - 5.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

从 $8$ 中减去 $5.1$ 。

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + {2.9}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

对 $2.9$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 8.41 \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

将 $8.41$ 乘以 $0.1$ 。

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 0.841 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

将 $- 1$ 乘以 $5.1$ 。

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 0.841 + {(10 - 5.1)}^{2} \cdot 0.2}$

从 $10$ 中减去 $5.1$ 。

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 0.841 + {4.9}^{2} \cdot 0.2}$

对 $4.9$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 0.841 + 24.01 \cdot 0.2}$

将 $24.01$ 乘以 $0.2$ 。

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 0.841 + 4.802}$

将 $3.362$ 和 $0.882$ 相加。

$\sqrt{4.244 + 0.003 + 0.841 + 4.802}$

将 $4.244$ 和 $0.003$ 相加。

$\sqrt{4.247 + 0.841 + 4.802}$

将 $4.247$ 和 $0.841$ 相加。

$\sqrt{5.088 + 4.802}$

将 $5.088$ 和 $4.802$ 相加。

$\sqrt{9.89}$

Step 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\sqrt{9.89}$

小数形式：

$3.14483703 \dots$

统计学 示例

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