统计学示例

\begin{matrix} x & P (x) 6 & 0.1 9 & 0.2 13 & 0.3 16 & 0.4 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 6 & 0.1 \\ 9 & 0.2 \\ 13 & 0.3 \\ 16 & 0.4 \end{array}$

Step 1

证明给定的表格满足概率分布的两个性质。

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取自独立值集合（例如

0

$0$ 、

1

$1$ 、

2

$2$ ……）的离散随机变量

x

$x$ 。其概率分布将概率

x

$x$ 赋值给每一个可能值

P (x)

$P (x)$ 。对于每一个

x

$x$ ，概率

P (x)

$P (x)$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，且所有可能

x

$x$ 值的概率之和等于

1

$1$ 。

1. 对每一个

x

$x$ ，

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ 。

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

0.1

$0.1$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.1

$0.1$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

0.2

$0.2$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.2

$0.2$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

0.3

$0.3$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.3

$0.3$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

0.4

$0.4$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.4

$0.4$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

对于每一个

x

$x$ ，概率

P (x)

$P (x)$ 都介于

0

$0$ 和

1

$1$ 的闭区间之内，这满足了概率分布的第一条性质。

对所有 x 值的

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$

求所有可能

x

$x$ 值的概率之和。

0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4$

所有可能

x

$x$ 值的概率之和为

0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1$ 。

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将

0.1

$0.1$ 和

0.2

$0.2$ 相加。

0.3 + 0.3 + 0.4

$0.3 + 0.3 + 0.4$

将

0.3

$0.3$ 和

0.3

$0.3$ 相加。

0.6 + 0.4

$0.6 + 0.4$

将

0.6

$0.6$ 和

0.4

$0.4$ 相加。

1

$1$

1

$1$

对于每一个

x

$x$ ，

P (x)

$P (x)$ 的概率都介于

0

$0$ 和

1

$1$ 的闭区间内。此外，所有可能的

x

$x$ 的概率之和等于

1

$1$ ，这表示该表满足概率分布的两条性质。

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有

x

$x$ 值满足

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2：

0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1$

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有

x

$x$ 值满足

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2：

0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1$

Step 2

如果分布的试验可以无限地继续下去，那么该分布的平均期望值为期望值。这等于每一个值乘以其离散概率。

u = 6 \cdot 0.1 + 9 \cdot 0.2 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.4

$u = 6 \cdot 0.1 + 9 \cdot 0.2 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.4$

Step 3

化简每一项。

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将

6

$6$ 乘以

0.1

$0.1$ 。

u = 0.6 + 9 \cdot 0.2 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.4

$u = 0.6 + 9 \cdot 0.2 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.4$

将

9

$9$ 乘以

0.2

$0.2$ 。

u = 0.6 + 1.8 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.4

$u = 0.6 + 1.8 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.4$

将

13

$13$ 乘以

0.3

$0.3$ 。

u = 0.6 + 1.8 + 3.9 + 16 \cdot 0.4

$u = 0.6 + 1.8 + 3.9 + 16 \cdot 0.4$

将

16

$16$ 乘以

0.4

$0.4$ 。

u = 0.6 + 1.8 + 3.9 + 6.4

$u = 0.6 + 1.8 + 3.9 + 6.4$

u = 0.6 + 1.8 + 3.9 + 6.4

$u = 0.6 + 1.8 + 3.9 + 6.4$

Step 4

通过加上各数进行化简。

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将

0.6

$0.6$ 和

1.8

$1.8$ 相加。

u = 2.4 + 3.9 + 6.4

$u = 2.4 + 3.9 + 6.4$

将

2.4

$2.4$ 和

3.9

$3.9$ 相加。

u = 6.3 + 6.4

$u = 6.3 + 6.4$

将

6.3

$6.3$ 和

6.4

$6.4$ 相加。

u = 12.7

$u = 12.7$

u = 12.7

$u = 12.7$

Step 5

分布的方差是对离差的度量并等于标准差的平方。

s^{2} = \sum {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Step 6

填入已知值。

{(6 - (12.7))}^{2} \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

${(6 - (12.7))}^{2} \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Step 7

化简表达式。

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化简每一项。

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将

- 1

$- 1$ 乘以

12.7

$12.7$ 。

{(6 - 12.7)}^{2} \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

${(6 - 12.7)}^{2} \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

从

6

$6$ 中减去

12.7

$12.7$ 。

{(- 6.7)}^{2} \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

${(- 6.7)}^{2} \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

对

- 6.7

$- 6.7$ 进行

2

$2$ 次方运算。

44.89 \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

$44.89 \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

将

44.89

$44.89$ 乘以

0.1

$0.1$ 。

4.489 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

$4.489 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

将

- 1

$- 1$ 乘以

12.7

$12.7$ 。

4.489 + {(9 - 12.7)}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

$4.489 + {(9 - 12.7)}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

从

9

$9$ 中减去

12.7

$12.7$ 。

4.489 + {(- 3.7)}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

$4.489 + {(- 3.7)}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

对

- 3.7

$- 3.7$ 进行

2

$2$ 次方运算。

4.489 + 13.69 \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

$4.489 + 13.69 \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

将

13.69

$13.69$ 乘以

0.2

$0.2$ 。

4.489 + 2.738 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

$4.489 + 2.738 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

将

- 1

$- 1$ 乘以

12.7

$12.7$ 。

4.489 + 2.738 + {(13 - 12.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

$4.489 + 2.738 + {(13 - 12.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

从

13

$13$ 中减去

12.7

$12.7$ 。

4.489 + 2.738 + {0.3}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

$4.489 + 2.738 + {0.3}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

通过指数相加将

{0.3}^{2}

${0.3}^{2}$ 乘以

0.3

$0.3$ 。

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将

{0.3}^{2}

${0.3}^{2}$ 乘以

0.3

$0.3$ 。

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对

0.3

$0.3$ 进行

1

$1$ 次方运算。

4.489 + 2.738 + {0.3}^{2} \cdot {0.3}^{1} + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

$4.489 + 2.738 + {0.3}^{2} \cdot {0.3}^{1} + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

4.489 + 2.738 + {0.3}^{2 + 1} + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

$4.489 + 2.738 + {0.3}^{2 + 1} + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

4.489 + 2.738 + {0.3}^{2 + 1} + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

$4.489 + 2.738 + {0.3}^{2 + 1} + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

将

2

$2$ 和

1

$1$ 相加。

4.489 + 2.738 + {0.3}^{3} + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

$4.489 + 2.738 + {0.3}^{3} + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

4.489 + 2.738 + {0.3}^{3} + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

$4.489 + 2.738 + {0.3}^{3} + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

对

0.3

$0.3$ 进行

3

$3$ 次方运算。

4.489 + 2.738 + 0.027 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

$4.489 + 2.738 + 0.027 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

将

- 1

$- 1$ 乘以

12.7

$12.7$ 。

4.489 + 2.738 + 0.027 + {(16 - 12.7)}^{2} \cdot 0.4

$4.489 + 2.738 + 0.027 + {(16 - 12.7)}^{2} \cdot 0.4$

从

16

$16$ 中减去

12.7

$12.7$ 。

4.489 + 2.738 + 0.027 + {3.3}^{2} \cdot 0.4

$4.489 + 2.738 + 0.027 + {3.3}^{2} \cdot 0.4$

对

3.3

$3.3$ 进行

2

$2$ 次方运算。

4.489 + 2.738 + 0.027 + 10.89 \cdot 0.4

$4.489 + 2.738 + 0.027 + 10.89 \cdot 0.4$

将

10.89

$10.89$ 乘以

0.4

$0.4$ 。

4.489 + 2.738 + 0.027 + 4.356

$4.489 + 2.738 + 0.027 + 4.356$

4.489 + 2.738 + 0.027 + 4.356

$4.489 + 2.738 + 0.027 + 4.356$

通过加上各数进行化简。

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将

4.489

$4.489$ 和

2.738

$2.738$ 相加。

7.227 + 0.027 + 4.356

$7.227 + 0.027 + 4.356$

将

7.227

$7.227$ 和

0.027

$0.027$ 相加。

7.254 + 4.356

$7.254 + 4.356$

将

7.254

$7.254$ 和

4.356

$4.356$ 相加。

11.61

$11.61$

11.61

$11.61$

11.61

$11.61$

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