统计学示例

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 6 & 0.1 \\ 9 & 0.2 \\ 13 & 0.3 \\ 16 & 0.4 \end{array}$

Step 1

证明给定的表格满足概率分布的两个性质。

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取自独立值集合（例如 $0$ 、 $1$ 、 $2$ ……）的离散随机变量 $x$ 。其概率分布将概率 $x$ 赋值给每一个可能值 $P (x)$ 。对于每一个 $x$ ，概率 $P (x)$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，且所有可能 $x$ 值的概率之和等于 $1$ 。

1. 对每一个 $x$ ， $0 \leq P (x) \leq 1$ 。

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

$0.1$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.1$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

$0.2$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.2$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

$0.3$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.3$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

$0.4$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.4$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

对于每一个 $x$ ，概率 $P (x)$ 都介于 $0$ 和 $1$ 的闭区间之内，这满足了概率分布的第一条性质。

对所有 x 值的 $0 \leq P (x) \leq 1$

求所有可能 $x$ 值的概率之和。

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4$

所有可能 $x$ 值的概率之和为 $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1$ 。

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将 $0.1$ 和 $0.2$ 相加。

$0.3 + 0.3 + 0.4$

将 $0.3$ 和 $0.3$ 相加。

$0.6 + 0.4$

将 $0.6$ 和 $0.4$ 相加。

$1$

对于每一个 $x$ ， $P (x)$ 的概率都介于 $0$ 和 $1$ 的闭区间内。此外，所有可能的 $x$ 的概率之和等于 $1$ ，这表示该表满足概率分布的两条性质。

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有 $x$ 值满足 $0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2： $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1$

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有 $x$ 值满足 $0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2： $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1$

Step 2

如果分布的试验可以无限地继续下去，那么该分布的平均期望值为期望值。这等于每一个值乘以其离散概率。

$u = 6 \cdot 0.1 + 9 \cdot 0.2 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.4$

Step 3

化简每一项。

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将 $6$ 乘以 $0.1$ 。

$u = 0.6 + 9 \cdot 0.2 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.4$

将 $9$ 乘以 $0.2$ 。

$u = 0.6 + 1.8 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.4$

将 $13$ 乘以 $0.3$ 。

$u = 0.6 + 1.8 + 3.9 + 16 \cdot 0.4$

将 $16$ 乘以 $0.4$ 。

$u = 0.6 + 1.8 + 3.9 + 6.4$

Step 4

通过加上各数进行化简。

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将 $0.6$ 和 $1.8$ 相加。

$u = 2.4 + 3.9 + 6.4$

将 $2.4$ 和 $3.9$ 相加。

$u = 6.3 + 6.4$

将 $6.3$ 和 $6.4$ 相加。

$u = 12.7$

Step 5

分布的方差是对离差的度量并等于标准差的平方。

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Step 6

填入已知值。

${(6 - (12.7))}^{2} \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Step 7

化简表达式。

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化简每一项。

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将 $- 1$ 乘以 $12.7$ 。

${(6 - 12.7)}^{2} \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

从 $6$ 中减去 $12.7$ 。

${(- 6.7)}^{2} \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

对 $- 6.7$ 进行 $2$ 次方运算。

$44.89 \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

将 $44.89$ 乘以 $0.1$ 。

$4.489 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

将 $- 1$ 乘以 $12.7$ 。

$4.489 + {(9 - 12.7)}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

从 $9$ 中减去 $12.7$ 。

$4.489 + {(- 3.7)}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

对 $- 3.7$ 进行 $2$ 次方运算。

$4.489 + 13.69 \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

将 $13.69$ 乘以 $0.2$ 。

$4.489 + 2.738 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

将 $- 1$ 乘以 $12.7$ 。

$4.489 + 2.738 + {(13 - 12.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

从 $13$ 中减去 $12.7$ 。

$4.489 + 2.738 + {0.3}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

通过指数相加将 ${0.3}^{2}$ 乘以 $0.3$ 。

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将 ${0.3}^{2}$ 乘以 $0.3$ 。

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对 $0.3$ 进行 $1$ 次方运算。

$4.489 + 2.738 + {0.3}^{2} \cdot {0.3}^{1} + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4.489 + 2.738 + {0.3}^{2 + 1} + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$4.489 + 2.738 + {0.3}^{3} + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

对 $0.3$ 进行 $3$ 次方运算。

$4.489 + 2.738 + 0.027 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

将 $- 1$ 乘以 $12.7$ 。

$4.489 + 2.738 + 0.027 + {(16 - 12.7)}^{2} \cdot 0.4$

从 $16$ 中减去 $12.7$ 。

$4.489 + 2.738 + 0.027 + {3.3}^{2} \cdot 0.4$

对 $3.3$ 进行 $2$ 次方运算。

$4.489 + 2.738 + 0.027 + 10.89 \cdot 0.4$

将 $10.89$ 乘以 $0.4$ 。

$4.489 + 2.738 + 0.027 + 4.356$

通过加上各数进行化简。

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将 $4.489$ 和 $2.738$ 相加。

$7.227 + 0.027 + 4.356$

将 $7.227$ 和 $0.027$ 相加。

$7.254 + 4.356$

将 $7.254$ 和 $4.356$ 相加。

$11.61$

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