统计学示例

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 2 & 0.2 \\ 4 & 0.2 \\ 9 & 0.1 \\ 12 & 0.2 \\ 17 & 0.2 \\ 21 & 0.1 \end{array}$

Step 1

证明给定的表格满足概率分布的两个性质。

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取自独立值集合（例如 $0$ 、 $1$ 、 $2$ ……）的离散随机变量 $x$ 。其概率分布将概率 $x$ 赋值给每一个可能值 $P (x)$ 。对于每一个 $x$ ，概率 $P (x)$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，且所有可能 $x$ 值的概率之和等于 $1$ 。

1. 对每一个 $x$ ， $0 \leq P (x) \leq 1$ 。

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

$0.2$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.2$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

$0.1$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.1$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

$0.2$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.2$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

$0.1$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.1$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

对于每一个 $x$ ，概率 $P (x)$ 都介于 $0$ 和 $1$ 的闭区间之内，这满足了概率分布的第一条性质。

对所有 x 值的 $0 \leq P (x) \leq 1$

求所有可能 $x$ 值的概率之和。

$0.2 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1$

所有可能 $x$ 值的概率之和为 $0.2 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1 = 1$ 。

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将 $0.2$ 和 $0.2$ 相加。

$0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1$

将 $0.4$ 和 $0.1$ 相加。

$0.5 + 0.2 + 0.2 + 0.1$

将 $0.5$ 和 $0.2$ 相加。

$0.7 + 0.2 + 0.1$

将 $0.7$ 和 $0.2$ 相加。

$0.9 + 0.1$

将 $0.9$ 和 $0.1$ 相加。

$1$

对于每一个 $x$ ， $P (x)$ 的概率都介于 $0$ 和 $1$ 的闭区间内。此外，所有可能的 $x$ 的概率之和等于 $1$ ，这表示该表满足概率分布的两条性质。

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有 $x$ 值满足 $0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2： $0.2 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1 = 1$

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有 $x$ 值满足 $0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2： $0.2 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1 = 1$

Step 2

如果分布的试验可以无限地继续下去，那么该分布的平均期望值为期望值。这等于每一个值乘以其离散概率。

$Expectation = 2 \cdot 0.2 + 4 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1$

Step 3

化简表达式。

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化简每一项。

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将 $2$ 乘以 $0.2$ 。

$Expectation = 0.4 + 4 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1$

将 $4$ 乘以 $0.2$ 。

$Expectation = 0.4 + 0.8 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1$

将 $9$ 乘以 $0.1$ 。

$Expectation = 0.4 + 0.8 + 0.9 + 12 \cdot 0.2 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1$

将 $12$ 乘以 $0.2$ 。

$Expectation = 0.4 + 0.8 + 0.9 + 2.4 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1$

将 $17$ 乘以 $0.2$ 。

$Expectation = 0.4 + 0.8 + 0.9 + 2.4 + 3.4 + 21 \cdot 0.1$

将 $21$ 乘以 $0.1$ 。

$Expectation = 0.4 + 0.8 + 0.9 + 2.4 + 3.4 + 2.1$

通过加上各数进行化简。

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将 $0.4$ 和 $0.8$ 相加。

$Expectation = 1.2 + 0.9 + 2.4 + 3.4 + 2.1$

将 $1.2$ 和 $0.9$ 相加。

$Expectation = 2.1 + 2.4 + 3.4 + 2.1$

将 $2.1$ 和 $2.4$ 相加。

$Expectation = 4.5 + 3.4 + 2.1$

将 $4.5$ 和 $3.4$ 相加。

$Expectation = 7.9 + 2.1$

将 $7.9$ 和 $2.1$ 相加。

$Expectation = 10$

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