初级微积分示例

$f (x) = \frac{x^{2} + 4 x}{- x - 4}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{x^{2} + 4 x}{- x - 4}$ 无定义。

$x = - 4$

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 4

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 2$

$m = 1$

解题步骤 5

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 6

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 6.1

化简表达式。

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解题步骤 6.1.1

从 $x^{2} + 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x + 4 x}{- x - 4}$

解题步骤 6.1.1.2

从 $4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4}{- x - 4}$

解题步骤 6.1.1.3

从 $x \cdot x + x \cdot 4$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x + 4)}{- x - 4}$

$\frac{x (x + 4)}{- x - 4}$

解题步骤 6.1.2

约去 $x + 4$ 和 $- x - 4$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.2.1

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x (- 1 (- x) + 4)}{- x - 4}$

解题步骤 6.1.2.2

将 $4$ 重写为 $- 1 (- 4)$ 。

$\frac{x (- 1 (- x) - 1 (- 4))}{- x - 4}$

解题步骤 6.1.2.3

从 $- 1 (- x) - 1 (- 4)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x (- 1 (- x - 4))}{- x - 4}$

解题步骤 6.1.2.4

约去公因数。

$\frac{x (- 1 (- x - 4))}{- x - 4}$

解题步骤 6.1.2.5

用 $x \cdot (- 1)$ 除以 $1$ 。

$x \cdot (- 1)$

$x \cdot (- 1)$

解题步骤 6.1.3

化简表达式。

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解题步骤 6.1.3.1

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$- 1 x$

解题步骤 6.1.3.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$- x$

$- x$

$- x$

解题步骤 6.2

由于进行多项式除法后没有多项式部分剩余，所以不存在斜渐近线。

不存在斜渐近线

不存在斜渐近线

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

解题步骤 8

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$