初级微积分示例

$f (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 12}{- 5 x + 15}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{x^{2} - 7 x + 12}{- 5 x + 15}$ 无定义。

$x = 3$

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 4

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 2$

$m = 1$

解题步骤 5

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 6

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 6.1

化简表达式。

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解题步骤 6.1.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 7 x + 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $12$ ，和为 $- 7$ 。

$- 4, - 3$

解题步骤 6.1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x - 4) (x - 3)}{- 5 x + 15}$

解题步骤 6.1.2

化简项。

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解题步骤 6.1.2.1

从 $- 5 x + 15$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 6.1.2.1.1

从 $- 5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{(x - 4) (x - 3)}{5 (- x) + 15}$

解题步骤 6.1.2.1.2

从 $15$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{(x - 4) (x - 3)}{5 (- x) + 5 (3)}$

解题步骤 6.1.2.1.3

从 $5 (- x) + 5 (3)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{(x - 4) (x - 3)}{5 (- x + 3)}$

解题步骤 6.1.2.2

约去 $x - 3$ 和 $- x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.2.2.1

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(x - 4) (- 1 (- x) - 3)}{5 (- x + 3)}$

解题步骤 6.1.2.2.2

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$\frac{(x - 4) (- 1 (- x) - 1 (3))}{5 (- x + 3)}$

解题步骤 6.1.2.2.3

从 $- 1 (- x) - 1 (3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(x - 4) (- 1 (- x + 3))}{5 (- x + 3)}$

解题步骤 6.1.2.2.4

约去公因数。

$\frac{(x - 4) (- 1 (- x + 3))}{5 (- x + 3)}$

解题步骤 6.1.2.2.5

重写表达式。

$\frac{(x - 4) \cdot (- 1)}{5}$

解题步骤 6.1.2.3

化简表达式。

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解题步骤 6.1.2.3.1

将 $- 1$ 移到 $x - 4$ 的左侧。

$\frac{- 1 \cdot (x - 4)}{5}$

解题步骤 6.1.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x - 4}{5}$

解题步骤 6.2

展开 $- (x - 4)$ 。

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解题步骤 6.2.1

对 $x - 4$ 取反。

$\frac{- (x - 4)}{5}$

解题步骤 6.2.2

运用分配律。

$\frac{- x + 4}{5}$

解题步骤 6.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{- x + 4}{5}$

解题步骤 6.3

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$5$

$x$

$4$

解题步骤 6.4

将被除数中的最高阶项 $- x$ 除以除数中的最高阶项 $5$ 。

		-	$\frac{x}{5}$
	$5$	-	$x$	+	$4$

解题步骤 6.5

将新的商式项乘以除数。

	-	$\frac{x}{5}$
$5$	-	$x$	+	$4$
	-	$x$

解题步骤 6.6

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x$ 中的所有符号

	-	$\frac{x}{5}$
$5$	-	$x$	+	$4$
	+	$x$

解题步骤 6.7

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

	-	$\frac{x}{5}$
$5$	-	$x$	+	$4$
	+	$x$
		$0$

解题步骤 6.8

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

	-	$\frac{x}{5}$
$5$	-	$x$	+	$4$
	+	$x$
		$0$	+	$4$

解题步骤 6.9

最终答案为商加上余数除以除数。

$- \frac{x}{5} + \frac{4}{5}$

解题步骤 6.10

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = - \frac{x}{5}$

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = - \frac{x}{5}$

解题步骤 8

初级微积分 示例

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