初级微积分示例

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ 无定义。

$x = - 2, x = 0$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- 2$ 时， $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- 2$ 时， $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = - 2$ 是一条垂直渐近线。

$x = - 2$

解题步骤 3

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $0$ 时， $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $0$ 时， $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = 0$ 是一条垂直渐近线。

$x = 0$

解题步骤 4

列出所有垂直渐近线：

$x = - 2, 0$

解题步骤 5

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 6

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 3$

$m = 2$

解题步骤 7

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 8

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 8.1

从 $x^{2} + 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 8.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + 2 x}$

解题步骤 8.1.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + x \cdot 2}$

解题步骤 8.1.3

从 $x \cdot x + x \cdot 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x (x + 2)}$

解题步骤 8.2

展开 $x (x + 2)$ 。

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解题步骤 8.2.1

运用分配律。

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + x \cdot 2}$

解题步骤 8.2.2

将 $x$ 和 $2$ 重新排序。

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + 2 x}$

解题步骤 8.2.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + 2 x}$

解题步骤 8.2.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + 2 x}$

解题步骤 8.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{1 + 1} + 2 x}$

解题步骤 8.2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$

解题步骤 8.3

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

解题步骤 8.4

将被除数中的最高阶项 $3 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

解题步骤 8.5

将新的商式项乘以除数。

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

解题步骤 8.6

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 x^{3} + 6 x^{2} + 0$ 中的所有符号

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

解题步骤 8.7

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

解题步骤 8.8

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

$1$

解题步骤 8.9

将被除数中的最高阶项 $- 5 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

						$3 x$	-	$5$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$0$
							-	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$1$

解题步骤 8.10

将新的商式项乘以除数。

						$3 x$	-	$5$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$0$
							-	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$1$
							-	$5 x^{2}$	-	$10 x$	+	$0$

解题步骤 8.11

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 5 x^{2} - 10 x + 0$ 中的所有符号

$3 x$

$5$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

$1$

$5 x^{2}$

$10 x$

$0$

解题步骤 8.12

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$3 x$

$5$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

$1$

$5 x^{2}$

$10 x$

$0$

$10 x$

$1$

解题步骤 8.13

最终答案为商加上余数除以除数。

$3 x - 5 + \frac{10 x + 1}{x^{2} + 2 x}$

解题步骤 8.14

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = 3 x - 5$

解题步骤 9

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - 2, 0$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = 3 x - 5$

解题步骤 10

初级微积分 示例

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