初级微积分示例

$f (x) = \frac{- 2 x^{2} - 4 x}{4 x + 8}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{- 2 x^{2} - 4 x}{4 x + 8}$ 无定义。

$x = - 2$

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 4

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 2$

$m = 1$

解题步骤 5

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 6

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 6.1

化简表达式。

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解题步骤 6.1.1

从 $- 2 x^{2} - 4 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (- x) - 4 x}{4 x + 8}$

解题步骤 6.1.1.2

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (- x) + 2 x (- 2)}{4 x + 8}$

解题步骤 6.1.1.3

从 $2 x (- x) + 2 x (- 2)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (- x - 2)}{4 x + 8}$

解题步骤 6.1.2

从 $4 x + 8$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 6.1.2.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{2 x (- x - 2)}{4 (x) + 8}$

解题步骤 6.1.2.2

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{2 x (- x - 2)}{4 x + 4 \cdot 2}$

解题步骤 6.1.2.3

从 $4 x + 4 \cdot 2$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{2 x (- x - 2)}{4 (x + 2)}$

解题步骤 6.1.3

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.1

从 $2 x (- x - 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x (- x - 2))}{4 (x + 2)}$

解题步骤 6.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.3.2.1

从 $4 (x + 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x (- x - 2))}{2 (2 (x + 2))}$

解题步骤 6.1.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (x (- x - 2))}{2 (2 (x + 2))}$

解题步骤 6.1.3.2.3

重写表达式。

$\frac{x (- x - 2)}{2 (x + 2)}$

解题步骤 6.1.4

约去 $- x - 2$ 和 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.4.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x (- (x) - 2)}{2 (x + 2)}$

解题步骤 6.1.4.2

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$\frac{x (- (x) - 1 (2))}{2 (x + 2)}$

解题步骤 6.1.4.3

从 $- (x) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x (- (x + 2))}{2 (x + 2)}$

解题步骤 6.1.4.4

将 $- (x + 2)$ 重写为 $- 1 (x + 2)$ 。

$\frac{x (- 1 (x + 2))}{2 (x + 2)}$

解题步骤 6.1.4.5

约去公因数。

$\frac{x (- 1 (x + 2))}{2 (x + 2)}$

解题步骤 6.1.4.6

重写表达式。

$\frac{x \cdot (- 1)}{2}$

解题步骤 6.1.5

化简表达式。

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解题步骤 6.1.5.1

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{- 1 \cdot x}{2}$

解题步骤 6.1.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x}{2}$

解题步骤 6.2

对 $x$ 取反。

$\frac{- x}{2}$

解题步骤 6.3

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2$

$x$

$0$

解题步骤 6.4

将被除数中的最高阶项 $- x$ 除以除数中的最高阶项 $2$ 。

		-	$\frac{x}{2}$
	$2$	-	$x$	+	$0$

解题步骤 6.5

将新的商式项乘以除数。

	-	$\frac{x}{2}$
$2$	-	$x$	+	$0$
	-	$x$

解题步骤 6.6

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x$ 中的所有符号

	-	$\frac{x}{2}$
$2$	-	$x$	+	$0$
	+	$x$

解题步骤 6.7

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

	-	$\frac{x}{2}$
$2$	-	$x$	+	$0$
	+	$x$
		$0$

解题步骤 6.8

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

	-	$\frac{x}{2}$
$2$	-	$x$	+	$0$
	+	$x$
		$0$	+	$0$

解题步骤 6.9

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$- \frac{x}{2}$

解题步骤 6.10

由于进行多项式除法后没有多项式部分剩余，所以不存在斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

解题步骤 8

初级微积分 示例

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