初级微积分示例

$f (x) = \frac{9 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{9 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x}{9 x^{2} + 3 x - 2}$ 无定义。

$x = - \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}$

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 4

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 3$

$m = 2$

解题步骤 5

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 6

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 6.1

化简表达式。

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解题步骤 6.1.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1.1

从 $9 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 6.1.1.1.1

从 $9 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (9 x^{2}) + 3 x^{2} - 2 x}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

解题步骤 6.1.1.1.2

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (9 x^{2}) + x (3 x) - 2 x}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

解题步骤 6.1.1.1.3

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (9 x^{2}) + x (3 x) + x \cdot - 2}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

解题步骤 6.1.1.1.4

从 $x (9 x^{2}) + x (3 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (9 x^{2} + 3 x) + x \cdot - 2}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

解题步骤 6.1.1.1.5

从 $x (9 x^{2} + 3 x) + x \cdot - 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (9 x^{2} + 3 x - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

解题步骤 6.1.1.2

分组因式分解。

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解题步骤 6.1.1.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 9 \cdot - 2 = - 18$ 并且它们的和为 $b = 3$ 。

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解题步骤 6.1.1.2.1.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x (9 x^{2} + 3 (x) - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

解题步骤 6.1.1.2.1.2

把 $3$ 重写为 $- 3$ 加 $6$

$\frac{x (9 x^{2} + (- 3 + 6) x - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

解题步骤 6.1.1.2.1.3

运用分配律。

$\frac{x (9 x^{2} - 3 x + 6 x - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

解题步骤 6.1.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{x ((9 x^{2} - 3 x) + 6 x - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

解题步骤 6.1.1.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x (3 x (3 x - 1) + 2 (3 x - 1))}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

解题步骤 6.1.1.2.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{x ((3 x - 1) (3 x + 2))}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

解题步骤 6.1.2

分组因式分解。

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解题步骤 6.1.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 9 \cdot - 2 = - 18$ 并且它们的和为 $b = 3$ 。

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解题步骤 6.1.2.1.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{9 x^{2} + 3 (x) - 2}$

解题步骤 6.1.2.1.2

把 $3$ 重写为 $- 3$ 加 $6$

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{9 x^{2} + (- 3 + 6) x - 2}$

解题步骤 6.1.2.1.3

运用分配律。

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{9 x^{2} - 3 x + 6 x - 2}$

解题步骤 6.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 6.1.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{(9 x^{2} - 3 x) + 6 x - 2}$

解题步骤 6.1.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{3 x (3 x - 1) + 2 (3 x - 1)}$

解题步骤 6.1.2.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{(3 x - 1) (3 x + 2)}$

解题步骤 6.1.3

约去 $3 x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.1

约去公因数。

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{(3 x - 1) (3 x + 2)}$

解题步骤 6.1.3.2

重写表达式。

$\frac{x (3 x + 2)}{3 x + 2}$

解题步骤 6.1.4

约去 $3 x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.4.1

约去公因数。

$\frac{x (3 x + 2)}{3 x + 2}$

解题步骤 6.1.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x$

解题步骤 6.2

由于进行多项式除法后没有多项式部分剩余，所以不存在斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

解题步骤 8

初级微积分 示例

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