初级微积分示例

$\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$ 无定义。

$x = - 3, x = - 2, x = 1, x = 2$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- 3$ 时， $\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- 3$ 时， $\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = - 3$ 是一条垂直渐近线。

$x = - 3$

解题步骤 3

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- 2$ 时， $\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- 2$ 时， $\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$ $\to$ $- \infty$ ，因此 $x = - 2$ 是一条垂直渐近线。

$x = - 2$

解题步骤 4

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $2$ 时， $\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $2$ 时， $\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = 2$ 是一条垂直渐近线。

$x = 2$

解题步骤 5

列出所有垂直渐近线：

$x = - 3, - 2, 2$

解题步骤 6

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 7

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 5$

$m = 4$

解题步骤 8

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 9

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 9.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

解题步骤 9.2

将被除数中的最高阶项 $x^{5}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{4}$ 。

$x$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

解题步骤 9.3

将新的商式项乘以除数。

$x$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

解题步骤 9.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{5} + 2 x^{4} - 7 x^{3} - 8 x^{2} + 12 x$ 中的所有符号

$x$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

解题步骤 9.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

$7 x^{4}$

$9 x^{3}$

$22 x^{2}$

$15 x$

解题步骤 9.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

$7 x^{4}$

$9 x^{3}$

$22 x^{2}$

$15 x$

$9$

解题步骤 9.7

将被除数中的最高阶项 $- 7 x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{4}$ 。

$x$

$7$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

$7 x^{4}$

$9 x^{3}$

$22 x^{2}$

$15 x$

$9$

解题步骤 9.8

将新的商式项乘以除数。

$x$

$7$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

$7 x^{4}$

$9 x^{3}$

$22 x^{2}$

$15 x$

$9$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$49 x^{2}$

$56 x$

$84$

解题步骤 9.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 7 x^{4} - 14 x^{3} + 49 x^{2} + 56 x - 84$ 中的所有符号

$x$

$7$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

$7 x^{4}$

$9 x^{3}$

$22 x^{2}$

$15 x$

$9$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$49 x^{2}$

$56 x$

$84$

解题步骤 9.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x$

$7$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

$7 x^{4}$

$9 x^{3}$

$22 x^{2}$

$15 x$

$9$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$49 x^{2}$

$56 x$

$84$

$23 x^{3}$

$27 x^{2}$

$71 x$

$75$

解题步骤 9.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$x - 7 + \frac{23 x^{3} - 27 x^{2} - 71 x + 75}{x^{4} + 2 x^{3} - 7 x^{2} - 8 x + 12}$

解题步骤 9.12

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = x - 7$

解题步骤 10

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - 3, - 2, 2$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = x - 7$

解题步骤 11

初级微积分 示例

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