初级微积分示例

$f (x) = \frac{- 4 x^{2} - 8 x + 5}{2 x + 1}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{- 4 x^{2} - 8 x + 5}{2 x + 1}$ 无定义。

$x = - \frac{1}{2}$

解题步骤 2

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 3

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 2$

$m = 1$

解题步骤 4

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 5

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 5.1

化简表达式。

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解题步骤 5.1.1

分组因式分解。

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解题步骤 5.1.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 4 \cdot 5 = - 20$ 并且它们的和为 $b = - 8$ 。

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解题步骤 5.1.1.1.1

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $- 8$ 。

$\frac{- 4 x^{2} - 8 (x) + 5}{2 x + 1}$

解题步骤 5.1.1.1.2

把 $- 8$ 重写为 $2$ 加 $- 10$

$\frac{- 4 x^{2} + (2 - 10) x + 5}{2 x + 1}$

解题步骤 5.1.1.1.3

运用分配律。

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x - 10 x + 5}{2 x + 1}$

解题步骤 5.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.1.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(- 4 x^{2} + 2 x) - 10 x + 5}{2 x + 1}$

解题步骤 5.1.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{2 x (- 2 x + 1) + 5 (- 2 x + 1)}{2 x + 1}$

解题步骤 5.1.1.3

通过因式分解出最大公因数 $- 2 x + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(- 2 x + 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

解题步骤 5.1.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(- (2 x) + 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

解题步骤 5.1.3

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{(- (2 x) - 1 (- 1)) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

解题步骤 5.1.4

从 $- (2 x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

解题步骤 5.1.5

化简表达式。

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解题步骤 5.1.5.1

将 $- (2 x - 1)$ 重写为 $- 1 (2 x - 1)$ 。

$\frac{- 1 (2 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

解题步骤 5.1.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(2 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

解题步骤 5.2

展开 $- (2 x - 1) (2 x + 5)$ 。

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解题步骤 5.2.1

对 $2 x - 1$ 取反。

$\frac{- (2 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

解题步骤 5.2.2

运用分配律。

$\frac{(- (2 x) + 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

解题步骤 5.2.3

运用分配律。

$\frac{- 2 x (2 x + 5) + 1 (2 x + 5)}{2 x + 1}$

解题步骤 5.2.4

运用分配律。

$\frac{- 2 x (2 x) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x + 5)}{2 x + 1}$

解题步骤 5.2.5

运用分配律。

$\frac{- 2 x (2 x) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

解题步骤 5.2.6

去掉圆括号。

$\frac{- 1 \cdot (2 x (2 x)) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

解题步骤 5.2.7

去掉圆括号。

$\frac{- 1 \cdot (2 x) \cdot (2 x) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

解题步骤 5.2.8

移动 $x$ 。

$\frac{- 1 \cdot 2 \cdot (2 x \cdot x) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

解题步骤 5.2.9

去掉圆括号。

$\frac{- 1 \cdot 2 \cdot (2 x \cdot x) - 1 \cdot (2 x) \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

解题步骤 5.2.10

移动 $x$ 。

$\frac{- 1 \cdot 2 \cdot (2 x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

解题步骤 5.2.11

去掉圆括号。

$\frac{- 1 \cdot 2 \cdot (2 x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

解题步骤 5.2.12

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 \cdot (2 x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

解题步骤 5.2.13

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 4 x \cdot x - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

解题步骤 5.2.14

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 4 (x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

解题步骤 5.2.15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 4 (x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

解题步骤 5.2.16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 4 x^{1 + 1} - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

解题步骤 5.2.17

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 4 x^{2} - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

解题步骤 5.2.18

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 4 x^{2} - 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

解题步骤 5.2.19

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

解题步骤 5.2.20

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

解题步骤 5.2.21

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 2 x + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

解题步骤 5.2.22

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 2 x + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

解题步骤 5.2.23

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 2 x + 5}{2 x + 1}$

解题步骤 5.2.24

将 $- 10 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{- 4 x^{2} - 8 x + 5}{2 x + 1}$

解题步骤 5.3

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x$

$1$

$4 x^{2}$

$8 x$

$5$

解题步骤 5.4

将被除数中的最高阶项 $- 4 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				-	$2 x$
	$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$

解题步骤 5.5

将新的商式项乘以除数。

			-	$2 x$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			-	$4 x^{2}$	-	$2 x$

解题步骤 5.6

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 4 x^{2} - 2 x$ 中的所有符号

			-	$2 x$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 5.7

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$2 x$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$

解题步骤 5.8

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$2 x$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$

解题步骤 5.9

将被除数中的最高阶项 $- 6 x$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

			-	$2 x$	-	$3$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$

解题步骤 5.10

将新的商式项乘以除数。

			-	$2 x$	-	$3$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$
					-	$6 x$	-	$3$

解题步骤 5.11

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 6 x - 3$ 中的所有符号

			-	$2 x$	-	$3$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$
					+	$6 x$	+	$3$

解题步骤 5.12

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$2 x$	-	$3$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$
					+	$6 x$	+	$3$
							+	$8$

解题步骤 5.13

最终答案为商加上余数除以除数。

$- 2 x - 3 + \frac{8}{2 x + 1}$

解题步骤 5.14

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = - 2 x - 3$

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - \frac{1}{2}$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = - 2 x - 3$

解题步骤 7

初级微积分 示例

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