初级微积分示例

$f (x) = \frac{x^{4}}{2 x^{2}}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{x^{4}}{2 x^{2}}$ 无定义。

$x = 0$

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 4

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 4$

$m = 2$

解题步骤 5

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 6

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 6.1

约去 $x^{4}$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} x^{2}}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.2.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 2}$

解题步骤 6.1.2.2

约去公因数。

$\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 2}$

解题步骤 6.1.2.3

重写表达式。

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

解题步骤 6.2

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$0$

解题步骤 6.3

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2$ 。

			$\frac{x^{2}}{2}$
	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

解题步骤 6.4

将新的商式项乘以除数。

			$\frac{x^{2}}{2}$
	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
		+	$x^{2}$

解题步骤 6.5

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2}$ 中的所有符号

			$\frac{x^{2}}{2}$
	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
		-	$x^{2}$

解题步骤 6.6

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			$\frac{x^{2}}{2}$
	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
		-	$x^{2}$
			$0$

解题步骤 6.7

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			$\frac{x^{2}}{2}$
	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
		-	$x^{2}$
			$0$	+	$0 x$

解题步骤 6.8

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$\frac{x^{2}}{2}$

解题步骤 6.9

由于进行多项式除法后没有多项式部分剩余，所以不存在斜渐近线。

不存在斜渐近线

不存在斜渐近线

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

解题步骤 8

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$