初级微积分示例

$f (x) = \frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$ 无定义。

$x = - 2, x = 3$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- 2$ 时， $\frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- 2$ 时， $\frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = - 2$ 是一条垂直渐近线。

$x = - 2$

解题步骤 3

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $3$ 时， $\frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $3$ 时， $\frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = 3$ 是一条垂直渐近线。

$x = 3$

解题步骤 4

列出所有垂直渐近线：

$x = - 2, 3$

解题步骤 5

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 6

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 3$

$m = 2$

解题步骤 7

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 8

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 8.1

化简表达式。

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解题步骤 8.1.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1.1

从 $x^{3} - 16 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 8.1.1.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{2} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

解题步骤 8.1.1.1.2

从 $- 16 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 16}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

解题步骤 8.1.1.1.3

从 $x \cdot x^{2} + x \cdot - 16$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x^{2} - 16)}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

解题步骤 8.1.1.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{x (x^{2} - 4^{2})}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

解题步骤 8.1.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

解题步骤 8.1.2

化简分母。

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解题步骤 8.1.2.1

从 $- 4 x^{2} + 4 x + 24$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 8.1.2.1.1

从 $- 4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2}) + 4 x + 24}$

解题步骤 8.1.2.1.2

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2}) + 4 (x) + 24}$

解题步骤 8.1.2.1.3

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2}) + 4 x + 4 \cdot 6}$

解题步骤 8.1.2.1.4

从 $4 (- x^{2}) + 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2} + x) + 4 \cdot 6}$

解题步骤 8.1.2.1.5

从 $4 (- x^{2} + x) + 4 \cdot 6$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2} + x + 6)}$

解题步骤 8.1.2.2

分组因式分解。

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解题步骤 8.1.2.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 6 = - 6$ 并且它们的和为 $b = 1$ 。

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解题步骤 8.1.2.2.1.1

乘以 $1$ 。

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2} + 1 x + 6)}$

解题步骤 8.1.2.2.1.2

把 $1$ 重写为 $- 2$ 加 $3$

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2} + (- 2 + 3) x + 6)}$

解题步骤 8.1.2.2.1.3

运用分配律。

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2} - 2 x + 3 x + 6)}$

解题步骤 8.1.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 8.1.2.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 ((- x^{2} - 2 x) + 3 x + 6)}$

解题步骤 8.1.2.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (x (- x - 2) - 3 (- x - 2))}$

解题步骤 8.1.2.2.3

通过因式分解出最大公因数 $- x - 2$ 来因式分解多项式。

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 ((- x - 2) (x - 3))}$

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x - 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.1.3

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 8.1.3.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- (x) - 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.1.3.2

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- (x) - 1 (2)) (x - 3)}$

解题步骤 8.1.3.3

从 $- (x) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- (x + 2)) (x - 3)}$

解题步骤 8.1.3.4

重写负数。

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解题步骤 8.1.3.4.1

将 $- (x + 2)$ 重写为 $- 1 (x + 2)$ 。

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- 1 (x + 2)) (x - 3)}$

解题步骤 8.1.3.4.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x (x + 4) (x - 4)}{(4 (x + 2)) (x - 3)}$

解题步骤 8.1.3.4.3

将 $- \frac{x (x + 4) (x - 4)}{(4 (x + 2)) (x - 3)}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2

展开 $- x (x + 4) (x - 4)$ 。

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解题步骤 8.2.1

对 $x$ 取反。

$\frac{- x (x + 4) (x - 4)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.2

运用分配律。

$\frac{(- x \cdot x - x \cdot 4) (x - 4)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.3

运用分配律。

$\frac{- x \cdot x (x - 4) - x \cdot (4 (x - 4))}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.4

运用分配律。

$\frac{- x \cdot x \cdot x - x \cdot x \cdot - 4 - x \cdot (4 (x - 4))}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.5

运用分配律。

$\frac{- x \cdot x \cdot x - x \cdot x \cdot - 4 - x \cdot (4 x) - x \cdot 4 \cdot - 4}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.6

移动 $x$ 。

$\frac{- x \cdot x \cdot x - x \cdot (- 4 x) - x \cdot (4 x) - x \cdot 4 \cdot - 4}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.7

移动 $x$ 。

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - x \cdot (4 x) - x \cdot 4 \cdot - 4}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.8

移动 $x$ 。

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - x \cdot 4 \cdot - 4}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.9

移动 $x$ 。

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x) \cdot - 4}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.10

移动 $x$ 。

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.11

提取负因数。

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.13

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- x^{1 + 1} x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.15

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- x^{2} x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.16

提取负因数。

$\frac{- (x^{2} x) - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.17

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- (x^{2} x) - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.18

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- x^{2 + 1} - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.19

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- x^{3} - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.20

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{- x^{3} + 4 x \cdot x - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.21

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- x^{3} + 4 (x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.22

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- x^{3} + 4 (x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.23

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- x^{3} + 4 x^{1 + 1} - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.24

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.25

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 x \cdot x - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.26

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.27

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.28

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{1 + 1} - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.29

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.30

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.31

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16 x}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.32

从 $4 x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$\frac{- x^{3} + 0 + 16 x}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.33

将 $0$ 和 $16 x$ 相加。

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.3

展开 $4 (x + 2) (x - 3)$ 。

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解题步骤 8.3.1

运用分配律。

$\frac{- x^{3} + 16 x}{(4 x + 4 \cdot 2) (x - 3)}$

解题步骤 8.3.2

运用分配律。

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x (x - 3) + 4 \cdot (2 (x - 3))}$

解题步骤 8.3.3

运用分配律。

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 + 4 \cdot (2 (x - 3))}$

解题步骤 8.3.4

运用分配律。

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

解题步骤 8.3.5

移动 $x$ 。

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x \cdot x + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

解题步骤 8.3.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 (x \cdot x) + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

解题步骤 8.3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 (x \cdot x) + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

解题步骤 8.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{1 + 1} + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

解题步骤 8.3.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

解题步骤 8.3.10

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} - 12 x + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

解题步骤 8.3.11

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} - 12 x + 8 x + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

解题步骤 8.3.12

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} - 12 x + 8 x + 8 \cdot - 3}$

解题步骤 8.3.13

将 $8$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} - 12 x + 8 x - 24}$

解题步骤 8.3.14

将 $- 12 x$ 和 $8 x$ 相加。

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} - 4 x - 24}$

解题步骤 8.4

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

解题步骤 8.5

将被除数中的最高阶项 $- x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $4 x^{2}$ 。

						-	$\frac{x}{4}$
	$4 x^{2}$	-	$4 x$	-	$24$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$16 x$	+	$0$

解题步骤 8.6

将新的商式项乘以除数。

$\frac{x}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

解题步骤 8.7

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{3} + x^{2} + 6 x$ 中的所有符号

$\frac{x}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

解题步骤 8.8

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$\frac{x}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

$x^{2}$

$10 x$

解题步骤 8.9

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$\frac{x}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

$x^{2}$

$10 x$

$0$

解题步骤 8.10

将被除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $4 x^{2}$ 。

$\frac{x}{4}$

$\frac{1}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

$x^{2}$

$10 x$

$0$

解题步骤 8.11

将新的商式项乘以除数。

$\frac{x}{4}$

$\frac{1}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

$x^{2}$

$10 x$

$0$

$x^{2}$

$x$

$6$

解题步骤 8.12

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{2} + x + 6$ 中的所有符号

					-	$\frac{x}{4}$	-	$\frac{1}{4}$
$4 x^{2}$	-	$4 x$	-	$24$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$16 x$	+	$0$
					+	$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$6 x$
							-	$x^{2}$	+	$10 x$	+	$0$
							+	$x^{2}$	-	$x$	-	$6$

解题步骤 8.13

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					-	$\frac{x}{4}$	-	$\frac{1}{4}$
$4 x^{2}$	-	$4 x$	-	$24$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$16 x$	+	$0$
					+	$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$6 x$
							-	$x^{2}$	+	$10 x$	+	$0$
							+	$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
									+	$9 x$	-	$6$

解题步骤 8.14

最终答案为商加上余数除以除数。

$- \frac{x}{4} - \frac{1}{4} + \frac{9 x - 6}{4 x^{2} - 4 x - 24}$

解题步骤 8.15

将解分解成多项式部分和余项。

$- \frac{x}{4} - \frac{1}{4} + \frac{- 9 x + 6}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

解题步骤 8.16

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = - \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$

解题步骤 9

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - 2, 3$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = - \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$

解题步骤 10

初级微积分 示例

初级微积分示例