初级微积分示例

$f (x) = \frac{x^{3} - 8}{x^{2} + 2 x - 8}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{x^{3} - 8}{x^{2} + 2 x - 8}$ 无定义。

$x = - 4, x = 2$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- 4$ 时， $\frac{x^{3} - 8}{x^{2} + 2 x - 8}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- 4$ 时， $\frac{x^{3} - 8}{x^{2} + 2 x - 8}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = - 4$ 是一条垂直渐近线。

$x = - 4$

解题步骤 3

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 4

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 3$

$m = 2$

解题步骤 5

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 6

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 6.1

化简表达式。

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解题步骤 6.1.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{x^{3} - 2^{3}}{x^{2} + 2 x - 8}$

解题步骤 6.1.1.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{2} + 2 x - 8}$

解题步骤 6.1.1.3

化简。

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解题步骤 6.1.1.3.1

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}{x^{2} + 2 x - 8}$

解题步骤 6.1.1.3.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 2 x - 8}$

解题步骤 6.1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 2 x - 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 8$ ，和为 $2$ 。

$- 2, 4$

解题步骤 6.1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{(x - 2) (x + 4)}$

解题步骤 6.1.3

约去 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.1

约去公因数。

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{(x - 2) (x + 4)}$

解题步骤 6.1.3.2

重写表达式。

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 4}$

解题步骤 6.2

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$4$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

解题步骤 6.3

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x$
	$x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$

解题步骤 6.4

将新的商式项乘以除数。

				$x$
$x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			+	$x^{2}$	+	$4 x$

解题步骤 6.5

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + 4 x$ 中的所有符号

				$x$
$x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	-	$4 x$

解题步骤 6.6

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$
$x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$2 x$

解题步骤 6.7

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x$
$x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$2 x$	+	$4$

解题步骤 6.8

将被除数中的最高阶项 $- 2 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x$	-	$2$
$x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$2 x$	+	$4$

解题步骤 6.9

将新的商式项乘以除数。

				$x$	-	$2$
$x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$2 x$	+	$4$
					-	$2 x$	-	$8$

解题步骤 6.10

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x - 8$ 中的所有符号

				$x$	-	$2$
$x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$2 x$	+	$4$
					+	$2 x$	+	$8$

解题步骤 6.11

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$	-	$2$
$x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$2 x$	+	$4$
					+	$2 x$	+	$8$
							+	$12$

解题步骤 6.12

最终答案为商加上余数除以除数。

$x - 2 + \frac{12}{x + 4}$

解题步骤 6.13

将解分解成多项式部分和余项。

$x - 2 + \frac{12 x - 24}{x^{2} + 2 x - 8}$

解题步骤 6.14

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = x - 2$

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - 4$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = x - 2$

解题步骤 8

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