初级微积分示例

$\frac{6}{5 x^{2} + 26 x + 5} - \frac{1}{x^{2} + x - 20}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

分组因式分解。

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解题步骤 1.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 5 \cdot 5 = 25$ 并且它们的和为 $b = 26$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $26 x$ 中分解出因数 $26$ 。

$\frac{6}{5 x^{2} + 26 (x) + 5} - \frac{1}{x^{2} + x - 20}$

解题步骤 1.1.1.2

把 $26$ 重写为 $1$ 加 $25$

$\frac{6}{5 x^{2} + (1 + 25) x + 5} - \frac{1}{x^{2} + x - 20}$

解题步骤 1.1.1.3

运用分配律。

$\frac{6}{5 x^{2} + 1 x + 25 x + 5} - \frac{1}{x^{2} + x - 20}$

解题步骤 1.1.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6}{5 x^{2} + x + 25 x + 5} - \frac{1}{x^{2} + x - 20}$

解题步骤 1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{6}{(5 x^{2} + x) + 25 x + 5} - \frac{1}{x^{2} + x - 20}$

解题步骤 1.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{6}{x (5 x + 1) + 5 (5 x + 1)} - \frac{1}{x^{2} + x - 20}$

解题步骤 1.1.3

通过因式分解出最大公因数 $5 x + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{6}{(5 x + 1) (x + 5)} - \frac{1}{x^{2} + x - 20}$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} + x - 20$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 20$ ，和为 $1$ 。

$- 4, 5$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{6}{(5 x + 1) (x + 5)} - \frac{1}{(x - 4) (x + 5)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{6}{(5 x + 1) (x + 5)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 4}{x - 4}$ 。

$\frac{6}{(5 x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{1}{(x - 4) (x + 5)}$

解题步骤 3

要将 $- \frac{1}{(x - 4) (x + 5)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5 x + 1}{5 x + 1}$ 。

$\frac{6}{(5 x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{1}{(x - 4) (x + 5)} \cdot \frac{5 x + 1}{5 x + 1}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{6}{(5 x + 1) (x + 5)}$ 乘以 $\frac{x - 4}{x - 4}$ 。

$\frac{6 (x - 4)}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)} - \frac{1}{(x - 4) (x + 5)} \cdot \frac{5 x + 1}{5 x + 1}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{(x - 4) (x + 5)}$ 乘以 $\frac{5 x + 1}{5 x + 1}$ 。

$\frac{6 (x - 4)}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)} - \frac{5 x + 1}{(x - 4) (x + 5) (5 x + 1)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(x - 4) (x + 5) (5 x + 1)$ 的因式。

$\frac{6 (x - 4)}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)} - \frac{5 x + 1}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{6 (x - 4) - (5 x + 1)}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{6 x + 6 \cdot - 4 - (5 x + 1)}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)}$

解题步骤 6.2

将 $6$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{6 x - 24 - (5 x + 1)}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{6 x - 24 - (5 x) - 1 \cdot 1}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)}$

解题步骤 6.4

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{6 x - 24 - 5 x - 1 \cdot 1}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)}$

解题步骤 6.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 x - 24 - 5 x - 1}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)}$

解题步骤 6.6

从 $6 x$ 中减去 $5 x$ 。

$\frac{x - 24 - 1}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)}$

解题步骤 6.7

从 $- 24$ 中减去 $1$ 。

$\frac{x - 25}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)}$

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