初级微积分示例

$\frac{x^{3}}{{(x^{2} + 11)}^{3}}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 11)}^{3}}$

解题步骤 1.2

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 11)}^{3}} + \frac{C x + D}{{(x^{2} + 11)}^{2}}$

解题步骤 1.3

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 11)}^{3}} + \frac{C x + D}{{(x^{2} + 11)}^{2}} + \frac{F x + G}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 ${(x^{2} + 11)}^{3}$ 。

$\frac{x^{3} {(x^{2} + 11)}^{3}}{{(x^{2} + 11)}^{3}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 11)}^{3}}{{(x^{2} + 11)}^{3}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 11)}^{3}}{{(x^{2} + 11)}^{2}} + \frac{(F x + G) {(x^{2} + 11)}^{3}}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.5

约去 ${(x^{2} + 11)}^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

约去公因数。

解题步骤 1.5.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$x^{3} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 11)}^{3}}{{(x^{2} + 11)}^{3}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 11)}^{3}}{{(x^{2} + 11)}^{2}} + \frac{(F x + G) {(x^{2} + 11)}^{3}}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.6

化简每一项。

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解题步骤 1.6.1

约去 ${(x^{2} + 11)}^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1.1

约去公因数。

$x^{3} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 11)}^{3}}{{(x^{2} + 11)}^{3}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 11)}^{3}}{{(x^{2} + 11)}^{2}} + \frac{(F x + G) {(x^{2} + 11)}^{3}}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.6.1.2

用 $A x + B$ 除以 $1$ 。

$x^{3} = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 11)}^{3}}{{(x^{2} + 11)}^{2}} + \frac{(F x + G) {(x^{2} + 11)}^{3}}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.6.2

约去 ${(x^{2} + 11)}^{3}$ 和 ${(x^{2} + 11)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.2.1

从 $(C x + D) {(x^{2} + 11)}^{3}$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 11)}^{2}$ 。

$x^{3} = A x + B + \frac{{(x^{2} + 11)}^{2} ((C x + D) (x^{2} + 11))}{{(x^{2} + 11)}^{2}} + \frac{(F x + G) {(x^{2} + 11)}^{3}}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.6.2.2.1

乘以 $1$ 。

$x^{3} = A x + B + \frac{{(x^{2} + 11)}^{2} ((C x + D) (x^{2} + 11))}{{(x^{2} + 11)}^{2} \cdot 1} + \frac{(F x + G) {(x^{2} + 11)}^{3}}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.6.2.2.2

约去公因数。

$x^{3} = A x + B + \frac{{(x^{2} + 11)}^{2} ((C x + D) (x^{2} + 11))}{{(x^{2} + 11)}^{2} \cdot 1} + \frac{(F x + G) {(x^{2} + 11)}^{3}}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.6.2.2.3

重写表达式。

$x^{3} = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 11)}{1} + \frac{(F x + G) {(x^{2} + 11)}^{3}}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.6.2.2.4

用 $(C x + D) (x^{2} + 11)$ 除以 $1$ 。

$x^{3} = A x + B + (C x + D) (x^{2} + 11) + \frac{(F x + G) {(x^{2} + 11)}^{3}}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.6.3

使用 FOIL 方法展开 $(C x + D) (x^{2} + 11)$ 。

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解题步骤 1.6.3.1

运用分配律。

$x^{3} = A x + B + C x (x^{2} + 11) + D (x^{2} + 11) + \frac{(F x + G) {(x^{2} + 11)}^{3}}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.6.3.2

运用分配律。

$x^{3} = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 11 + D (x^{2} + 11) + \frac{(F x + G) {(x^{2} + 11)}^{3}}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.6.3.3

运用分配律。

$x^{3} = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 11 + D x^{2} + D \cdot 11 + \frac{(F x + G) {(x^{2} + 11)}^{3}}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.6.4

化简每一项。

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解题步骤 1.6.4.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.6.4.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$x^{3} = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 11 + D x^{2} + D \cdot 11 + \frac{(F x + G) {(x^{2} + 11)}^{3}}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.6.4.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.6.4.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 11 + D x^{2} + D \cdot 11 + \frac{(F x + G) {(x^{2} + 11)}^{3}}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.6.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{3} = A x + B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 11 + D x^{2} + D \cdot 11 + \frac{(F x + G) {(x^{2} + 11)}^{3}}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.6.4.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + C x \cdot 11 + D x^{2} + D \cdot 11 + \frac{(F x + G) {(x^{2} + 11)}^{3}}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.6.4.2

将 $11$ 移到 $C x$ 的左侧。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 \cdot (C x) + D x^{2} + D \cdot 11 + \frac{(F x + G) {(x^{2} + 11)}^{3}}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.6.4.3

将 $11$ 移到 $D$ 的左侧。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + \frac{(F x + G) {(x^{2} + 11)}^{3}}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.6.5

约去 ${(x^{2} + 11)}^{3}$ 和 $x^{2} + 11$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.5.1

从 $(F x + G) {(x^{2} + 11)}^{3}$ 中分解出因数 $x^{2} + 11$ 。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + \frac{(x^{2} + 11) ((F x + G) {(x^{2} + 11)}^{2})}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.6.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.6.5.2.1

乘以 $1$ 。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + \frac{(x^{2} + 11) ((F x + G) {(x^{2} + 11)}^{2})}{(x^{2} + 11) \cdot 1}$

解题步骤 1.6.5.2.2

约去公因数。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + \frac{(x^{2} + 11) ((F x + G) {(x^{2} + 11)}^{2})}{(x^{2} + 11) \cdot 1}$

解题步骤 1.6.5.2.3

重写表达式。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + \frac{(F x + G) {(x^{2} + 11)}^{2}}{1}$

解题步骤 1.6.5.2.4

用 $(F x + G) {(x^{2} + 11)}^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + (F x + G) {(x^{2} + 11)}^{2}$

解题步骤 1.6.6

将 ${(x^{2} + 11)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} + 11) (x^{2} + 11)$ 。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + (F x + G) ((x^{2} + 11) (x^{2} + 11))$

解题步骤 1.6.7

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 11) (x^{2} + 11)$ 。

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解题步骤 1.6.7.1

运用分配律。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + (F x + G) (x^{2} (x^{2} + 11) + 11 (x^{2} + 11))$

解题步骤 1.6.7.2

运用分配律。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + (F x + G) (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 11 + 11 (x^{2} + 11))$

解题步骤 1.6.7.3

运用分配律。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + (F x + G) (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 11 + 11 x^{2} + 11 \cdot 11)$

解题步骤 1.6.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.6.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.6.8.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.6.8.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + (F x + G) (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 11 + 11 x^{2} + 11 \cdot 11)$

解题步骤 1.6.8.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + (F x + G) (x^{4} + x^{2} \cdot 11 + 11 x^{2} + 11 \cdot 11)$

解题步骤 1.6.8.1.2

将 $11$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + (F x + G) (x^{4} + 11 \cdot x^{2} + 11 x^{2} + 11 \cdot 11)$

解题步骤 1.6.8.1.3

将 $11$ 乘以 $11$ 。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + (F x + G) (x^{4} + 11 x^{2} + 11 x^{2} + 121)$

解题步骤 1.6.8.2

将 $11 x^{2}$ 和 $11 x^{2}$ 相加。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + (F x + G) (x^{4} + 22 x^{2} + 121)$

解题步骤 1.6.9

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(F x + G) (x^{4} + 22 x^{2} + 121)$ 。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + F x \cdot x^{4} + F x (22 x^{2}) + F x \cdot 121 + G x^{4} + G (22 x^{2}) + G \cdot 121$

解题步骤 1.6.10

化简每一项。

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解题步骤 1.6.10.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 1.6.10.1.1

移动 $x^{4}$ 。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + F (x^{4} x) + F x (22 x^{2}) + F x \cdot 121 + G x^{4} + G (22 x^{2}) + G \cdot 121$

解题步骤 1.6.10.1.2

将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.6.10.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + F (x^{4} x) + F x (22 x^{2}) + F x \cdot 121 + G x^{4} + G (22 x^{2}) + G \cdot 121$

解题步骤 1.6.10.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + F x^{4 + 1} + F x (22 x^{2}) + F x \cdot 121 + G x^{4} + G (22 x^{2}) + G \cdot 121$

解题步骤 1.6.10.1.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + F x^{5} + F x (22 x^{2}) + F x \cdot 121 + G x^{4} + G (22 x^{2}) + G \cdot 121$

解题步骤 1.6.10.2

使用乘法的交换性质重写。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + F x^{5} + 22 F x \cdot x^{2} + F x \cdot 121 + G x^{4} + G (22 x^{2}) + G \cdot 121$

解题步骤 1.6.10.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.6.10.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + F x^{5} + 22 F (x^{2} x) + F x \cdot 121 + G x^{4} + G (22 x^{2}) + G \cdot 121$

解题步骤 1.6.10.3.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.6.10.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + F x^{5} + 22 F (x^{2} x) + F x \cdot 121 + G x^{4} + G (22 x^{2}) + G \cdot 121$

解题步骤 1.6.10.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + F x^{5} + 22 F x^{2 + 1} + F x \cdot 121 + G x^{4} + G (22 x^{2}) + G \cdot 121$

解题步骤 1.6.10.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + F x^{5} + 22 F x^{3} + F x \cdot 121 + G x^{4} + G (22 x^{2}) + G \cdot 121$

解题步骤 1.6.10.4

将 $121$ 移到 $F x$ 的左侧。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + F x^{5} + 22 F x^{3} + 121 \cdot (F x) + G x^{4} + G (22 x^{2}) + G \cdot 121$

解题步骤 1.6.10.5

使用乘法的交换性质重写。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + F x^{5} + 22 F x^{3} + 121 F x + G x^{4} + 22 G x^{2} + G \cdot 121$

解题步骤 1.6.10.6

将 $121$ 移到 $G$ 的左侧。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + F x^{5} + 22 F x^{3} + 121 F x + G x^{4} + 22 G x^{2} + 121 G$

解题步骤 1.7

化简表达式。

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解题步骤 1.7.1

移动 $F$ 。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + F x^{5} + 22 x^{3} F + 121 F x + G x^{4} + 22 G x^{2} + 121 G$

解题步骤 1.7.2

移动 $F$ 。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + F x^{5} + 22 x^{3} F + 121 x F + G x^{4} + 22 G x^{2} + 121 G$

解题步骤 1.7.3

将 $G$ 和 $x^{4}$ 重新排序。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + F x^{5} + 22 x^{3} F + 121 x F + G x^{4} + 22 G x^{2} + 121 G$

解题步骤 1.7.4

移动 $G$ 。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + 11 D + F x^{5} + 22 x^{3} F + 121 x F + G x^{4} + 22 x^{2} G + 121 G$

解题步骤 1.7.5

移动 $11 D$ 。

$x^{3} = A x + B + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + F x^{5} + 22 x^{3} F + 121 x F + G x^{4} + 22 x^{2} G + 11 D + 121 G$

解题步骤 1.7.6

移动 $B$ 。

$x^{3} = A x + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + F x^{5} + 22 x^{3} F + 121 x F + G x^{4} + 22 x^{2} G + B + 11 D + 121 G$

解题步骤 1.7.7

移动 $121 x F$ 。

$x^{3} = A x + C x^{3} + 11 C x + D x^{2} + F x^{5} + 22 x^{3} F + G x^{4} + 22 x^{2} G + 121 x F + B + 11 D + 121 G$

解题步骤 1.7.8

移动 $11 C x$ 。

$x^{3} = A x + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + 22 x^{3} F + G x^{4} + 22 x^{2} G + 11 C x + 121 x F + B + 11 D + 121 G$

解题步骤 1.7.9

移动 $A x$ 。

$x^{3} = C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + 22 x^{3} F + G x^{4} + 22 x^{2} G + A x + 11 C x + 121 x F + B + 11 D + 121 G$

解题步骤 1.7.10

移动 $D x^{2}$ 。

$x^{3} = C x^{3} + F x^{5} + 22 x^{3} F + G x^{4} + D x^{2} + 22 x^{2} G + A x + 11 C x + 121 x F + B + 11 D + 121 G$

解题步骤 1.7.11

移动 $22 x^{3} F$ 。

$x^{3} = C x^{3} + F x^{5} + G x^{4} + 22 x^{3} F + D x^{2} + 22 x^{2} G + A x + 11 C x + 121 x F + B + 11 D + 121 G$

解题步骤 1.7.12

移动 $C x^{3}$ 。

$x^{3} = F x^{5} + G x^{4} + C x^{3} + 22 x^{3} F + D x^{2} + 22 x^{2} G + A x + 11 C x + 121 x F + B + 11 D + 121 G$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边 $x^{5}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = F$

解题步骤 2.2

使方程两边 $x^{4}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = G$

解题步骤 2.3

使方程两边 $x^{3}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = C + 22 F$

解题步骤 2.4

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = D + 22 G$

解题步骤 2.5

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A + 11 C + 121 F$

解题步骤 2.6

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = B + 11 D + 121 G$

解题步骤 2.7

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = F$

$0 = G$

$1 = C + 22 F$

$0 = D + 22 G$

$0 = A + 11 C + 121 F$

$0 = B + 11 D + 121 G$

$0 = F$

$0 = G$

$1 = C + 22 F$

$0 = D + 22 G$

$0 = A + 11 C + 121 F$

$0 = B + 11 D + 121 G$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $F = 0$ 。

$F = 0$

$0 = G$

$1 = C + 22 F$

$0 = D + 22 G$

$0 = A + 11 C + 121 F$

$0 = B + 11 D + 121 G$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $F$ 替换成 $0$ 。

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解题步骤 3.2.1

将方程重写为 $G = 0$ 。

$G = 0$

$F = 0$

$1 = C + 22 F$

$0 = D + 22 G$

$0 = A + 11 C + 121 F$

$0 = B + 11 D + 121 G$

解题步骤 3.2.2

使用 $0$ 替换 $1 = C + 22 F$ 中所有出现的 $F$ .

$1 = C + 22 (0)$

$G = 0$

$F = 0$

$0 = D + 22 G$

$0 = A + 11 C + 121 F$

$0 = B + 11 D + 121 G$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

化简 $C + 22 (0)$ 。

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解题步骤 3.2.3.1.1

将 $22$ 乘以 $0$ 。

$1 = C + 0$

$G = 0$

$F = 0$

$0 = D + 22 G$

$0 = A + 11 C + 121 F$

$0 = B + 11 D + 121 G$

解题步骤 3.2.3.1.2

将 $C$ 和 $0$ 相加。

$1 = C$

$G = 0$

$F = 0$

$0 = D + 22 G$

$0 = A + 11 C + 121 F$

$0 = B + 11 D + 121 G$

$1 = C$

$G = 0$

$F = 0$

$0 = D + 22 G$

$0 = A + 11 C + 121 F$

$0 = B + 11 D + 121 G$

$1 = C$

$G = 0$

$F = 0$

$0 = D + 22 G$

$0 = A + 11 C + 121 F$

$0 = B + 11 D + 121 G$

解题步骤 3.2.4

使用 $0$ 替换 $0 = A + 11 C + 121 F$ 中所有出现的 $F$ .

$0 = A + 11 C + 121 (0)$

$1 = C$

$G = 0$

$F = 0$

$0 = D + 22 G$

$0 = B + 11 D + 121 G$

解题步骤 3.2.5

化简右边。

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解题步骤 3.2.5.1

化简 $A + 11 C + 121 (0)$ 。

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解题步骤 3.2.5.1.1

将 $121$ 乘以 $0$ 。

$0 = A + 11 C + 0$

$1 = C$

$G = 0$

$F = 0$

$0 = D + 22 G$

$0 = B + 11 D + 121 G$

解题步骤 3.2.5.1.2

将 $A + 11 C$ 和 $0$ 相加。

$0 = A + 11 C$

$1 = C$

$G = 0$

$F = 0$

$0 = D + 22 G$

$0 = B + 11 D + 121 G$

$0 = A + 11 C$

$1 = C$

$G = 0$

$F = 0$

$0 = D + 22 G$

$0 = B + 11 D + 121 G$

$0 = A + 11 C$

$1 = C$

$G = 0$

$F = 0$

$0 = D + 22 G$

$0 = B + 11 D + 121 G$

$0 = A + 11 C$

$1 = C$

$G = 0$

$F = 0$

$0 = D + 22 G$

$0 = B + 11 D + 121 G$

解题步骤 3.3

将每个方程中所有出现的 $G$ 替换成 $0$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $C = 1$ 。

$C = 1$

$0 = A + 11 C$

$G = 0$

$F = 0$

$0 = D + 22 G$

$0 = B + 11 D + 121 G$

解题步骤 3.3.2

使用 $0$ 替换 $0 = D + 22 G$ 中所有出现的 $G$ .

$0 = D + 22 (0)$

$C = 1$

$0 = A + 11 C$

$G = 0$

$F = 0$

$0 = B + 11 D + 121 G$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

化简 $D + 22 (0)$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.1

将 $22$ 乘以 $0$ 。

$0 = D + 0$

$C = 1$

$0 = A + 11 C$

$G = 0$

$F = 0$

$0 = B + 11 D + 121 G$

解题步骤 3.3.3.1.2

将 $D$ 和 $0$ 相加。

$0 = D$

$C = 1$

$0 = A + 11 C$

$G = 0$

$F = 0$

$0 = B + 11 D + 121 G$

$0 = D$

$C = 1$

$0 = A + 11 C$

$G = 0$

$F = 0$

$0 = B + 11 D + 121 G$

$0 = D$

$C = 1$

$0 = A + 11 C$

$G = 0$

$F = 0$

$0 = B + 11 D + 121 G$

解题步骤 3.3.4

使用 $0$ 替换 $0 = B + 11 D + 121 G$ 中所有出现的 $G$ .

$0 = B + 11 D + 121 (0)$

$0 = D$

$C = 1$

$0 = A + 11 C$

$G = 0$

$F = 0$

解题步骤 3.3.5

化简右边。

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解题步骤 3.3.5.1

化简 $B + 11 D + 121 (0)$ 。

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解题步骤 3.3.5.1.1

将 $121$ 乘以 $0$ 。

$0 = B + 11 D + 0$

$0 = D$

$C = 1$

$0 = A + 11 C$

$G = 0$

$F = 0$

解题步骤 3.3.5.1.2

将 $B + 11 D$ 和 $0$ 相加。

$0 = B + 11 D$

$0 = D$

$C = 1$

$0 = A + 11 C$

$G = 0$

$F = 0$

$0 = B + 11 D$

$0 = D$

$C = 1$

$0 = A + 11 C$

$G = 0$

$F = 0$

$0 = B + 11 D$

$0 = D$

$C = 1$

$0 = A + 11 C$

$G = 0$

$F = 0$

$0 = B + 11 D$

$0 = D$

$C = 1$

$0 = A + 11 C$

$G = 0$

$F = 0$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $1$ 。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $D = 0$ 。

$D = 0$

$0 = B + 11 D$

$C = 1$

$0 = A + 11 C$

$G = 0$

$F = 0$

解题步骤 3.4.2

使用 $1$ 替换 $0 = A + 11 C$ 中所有出现的 $C$ .

$0 = A + 11 (1)$

$D = 0$

$0 = B + 11 D$

$C = 1$

$G = 0$

$F = 0$

解题步骤 3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.1

将 $11$ 乘以 $1$ 。

$0 = A + 11$

$D = 0$

$0 = B + 11 D$

$C = 1$

$G = 0$

$F = 0$

$0 = A + 11$

$D = 0$

$0 = B + 11 D$

$C = 1$

$G = 0$

$F = 0$

$0 = A + 11$

$D = 0$

$0 = B + 11 D$

$C = 1$

$G = 0$

$F = 0$

解题步骤 3.5

将每个方程中所有出现的 $D$ 替换成 $0$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $A + 11 = 0$ 。

$A + 11 = 0$

$D = 0$

$0 = B + 11 D$

$C = 1$

$G = 0$

$F = 0$

解题步骤 3.5.2

从等式两边同时减去 $11$ 。

$A = - 11$

$D = 0$

$0 = B + 11 D$

$C = 1$

$G = 0$

$F = 0$

解题步骤 3.5.3

使用 $0$ 替换 $0 = B + 11 D$ 中所有出现的 $D$ .

$0 = B + 11 (0)$

$A = - 11$

$D = 0$

$C = 1$

$G = 0$

$F = 0$

解题步骤 3.5.4

化简右边。

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解题步骤 3.5.4.1

化简 $B + 11 (0)$ 。

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解题步骤 3.5.4.1.1

将 $11$ 乘以 $0$ 。

$0 = B + 0$

$A = - 11$

$D = 0$

$C = 1$

$G = 0$

$F = 0$

解题步骤 3.5.4.1.2

将 $B$ 和 $0$ 相加。

$0 = B$

$A = - 11$

$D = 0$

$C = 1$

$G = 0$

$F = 0$

$0 = B$

$A = - 11$

$D = 0$

$C = 1$

$G = 0$

$F = 0$

$0 = B$

$A = - 11$

$D = 0$

$C = 1$

$G = 0$

$F = 0$

$0 = B$

$A = - 11$

$D = 0$

$C = 1$

$G = 0$

$F = 0$

解题步骤 3.6

将方程重写为 $B = 0$ 。

$B = 0$

$A = - 11$

$D = 0$

$C = 1$

$G = 0$

$F = 0$

解题步骤 3.7

求解方程组。

$B = 0 A = - 11 D = 0 C = 1 G = 0 F = 0$

解题步骤 3.8

列出所有解。

$B = 0, A = - 11, D = 0, C = 1, G = 0, F = 0$

解题步骤 4

将 $\frac{A x + B}{{(x^{2} + 11)}^{3}} + \frac{C x + D}{{(x^{2} + 11)}^{2}} + \frac{F x + G}{x^{2} + 11}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $F$ 和 $G$ 的值。

$\frac{- 11 x + 0}{{(x^{2} + 11)}^{3}} + \frac{1 x + 0}{{(x^{2} + 11)}^{2}} + \frac{0 x + 0}{x^{2} + 11}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $(- 11) \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 11 x}{{(x^{2} + 11)}^{3}} + \frac{(1) \cdot x + 0}{{(x^{2} + 11)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2} + 11}$

解题步骤 5.2

将 $(1) \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 11 x}{{(x^{2} + 11)}^{3}} + \frac{(1) \cdot x}{{(x^{2} + 11)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2} + 11}$

解题步骤 5.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 11 x}{{(x^{2} + 11)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 11)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2} + 11}$

解题步骤 5.4

将 $(0) \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 11 x}{{(x^{2} + 11)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 11)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x}{x^{2} + 11}$

解题步骤 5.5

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- 11 x}{{(x^{2} + 11)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 11)}^{2}} + \frac{0}{x^{2} + 11}$

初级微积分 示例

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