初级微积分示例

$\frac{x^{4} - x^{2} + 4}{x^{3} - x^{2}}$

解题步骤 1

使用多项式长除法进行相除。

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解题步骤 1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

解题步骤 1.2

将被除数中的最高阶项 $x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{3}$ 。

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

解题步骤 1.3

将新的商式项乘以除数。

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

解题步骤 1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{4} - x^{3} + 0 + 0$ 中的所有符号

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

解题步骤 1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

解题步骤 1.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$4$

解题步骤 1.7

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{3}$ 。

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$4$

解题步骤 1.8

将新的商式项乘以除数。

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

解题步骤 1.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - x^{2} + 0 + 0$ 中的所有符号

								$x$	+	$1$
$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
							-	$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
									+	$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0$	+	$4$
									-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$0$	-	$0$

解题步骤 1.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

								$x$	+	$1$
$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
							-	$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
									+	$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0$	+	$4$
									-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$0$	-	$0$
															+	$4$

解题步骤 1.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$x + 1 + \frac{4}{x^{3} - x^{2}}$

解题步骤 2

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 2.1

从 $x^{3} - x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{4}{x^{2} x - x^{2}}$

解题步骤 2.1.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{4}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.3

从 $x^{2} x + x^{2} \cdot - 1$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{4}{x^{2} (x - 1)}$

解题步骤 2.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $C$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 1}$

解题步骤 2.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $x^{2} (x - 1)$ 。

$\frac{4 (x^{2} (x - 1))}{x^{2} (x - 1)} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 2.4

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1

约去公因数。

$\frac{4 (x^{2} (x - 1))}{x^{2} (x - 1)} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 2.4.2

重写表达式。

$\frac{4 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 2.5

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1

约去公因数。

$\frac{4 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 2.5.2

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4 = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 2.6

化简每一项。

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解题步骤 2.6.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1.1

约去公因数。

$4 = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 2.6.1.2

用 $A (x - 1)$ 除以 $1$ 。

$4 = A (x - 1) + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 2.6.2

运用分配律。

$4 = A x + A \cdot - 1 + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 2.6.3

将 $- 1$ 移到 $A$ 的左侧。

$4 = A x - 1 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 2.6.4

将 $- 1 A$ 重写为 $- A$ 。

$4 = A x - A + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 2.6.5

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.5.1

从 $B (x^{2} (x - 1))$ 中分解出因数 $x$ 。

$4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 2.6.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.6.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 2.6.5.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 2.6.5.2.3

约去公因数。

$4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 2.6.5.2.4

重写表达式。

$4 = A x - A + \frac{B (x (x - 1))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 2.6.5.2.5

用 $B (x (x - 1))$ 除以 $1$ 。

$4 = A x - A + B (x (x - 1)) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 2.6.6

运用分配律。

$4 = A x - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 2.6.7

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$4 = A x - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 2.6.8

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$4 = A x - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 2.6.9

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$4 = A x - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 2.6.10

运用分配律。

$4 = A x - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 2.6.11

使用乘法的交换性质重写。

$4 = A x - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 2.6.12

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.12.1

约去公因数。

$4 = A x - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 2.6.12.2

用 $(C) (x^{2})$ 除以 $1$ 。

$4 = A x - A + B x^{2} - B x + (C) (x^{2})$

$4 = A x - A + B x^{2} - B x + C x^{2}$

解题步骤 2.7

化简表达式。

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解题步骤 2.7.1

移动 $B$ 。

$4 = A x - A + B x^{2} - x B + C x^{2}$

解题步骤 2.7.2

移动 $- A$ 。

$4 = A x + B x^{2} - x B + C x^{2} - A$

解题步骤 2.7.3

移动 $- x B$ 。

$4 = A x + B x^{2} + C x^{2} - x B - A$

解题步骤 2.7.4

移动 $A x$ 。

$4 = B x^{2} + C x^{2} + A x - x B - A$

解题步骤 3

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 3.1

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = B + C$

解题步骤 3.2

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A - 1 B$

解题步骤 3.3

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$4 = - 1 A$

解题步骤 3.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$4 = - 1 A$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$4 = - 1 A$

解题步骤 4

求解方程组。

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解题步骤 4.1

在 $4 = - 1 A$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 4.1.1

将方程重写为 $- 1 A = 4$ 。

$- 1 A = 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

解题步骤 4.1.2

将 $- 1 A = 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 1 A = 4$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

解题步骤 4.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{A}{1} = \frac{4}{- 1}$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

解题步骤 4.1.2.2.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{4}{- 1}$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$A = \frac{4}{- 1}$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

解题步骤 4.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.1.2.3.1

用 $4$ 除以 $- 1$ 。

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

解题步骤 4.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $- 4$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用 $- 4$ 替换 $0 = A - 1 B$ 中所有出现的 $A$ .

$0 = (- 4) - 1 B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $- 1 B$ 重写为 $- B$ 。

$0 = - 4 - B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = - 4 - B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = - 4 - B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

解题步骤 4.3

在 $0 = - 4 - B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 4.3.1

将方程重写为 $- 4 - B = 0$ 。

$- 4 - B = 0$

$A = - 4$

$0 = B + C$

解题步骤 4.3.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$- B = 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

解题步骤 4.3.3

将 $- B = 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.3.3.1

将 $- B = 4$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- B}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

$A = - 4$

$0 = B + C$

解题步骤 4.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{B}{1} = \frac{4}{- 1}$

$A = - 4$

$0 = B + C$

解题步骤 4.3.3.2.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{4}{- 1}$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$B = \frac{4}{- 1}$

$A = - 4$

$0 = B + C$

解题步骤 4.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.3.3.1

用 $4$ 除以 $- 1$ 。

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

解题步骤 4.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $- 4$ 。

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解题步骤 4.4.1

使用 $- 4$ 替换 $0 = B + C$ 中所有出现的 $B$ .

$0 = (- 4) + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

解题步骤 4.4.2

化简右边。

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解题步骤 4.4.2.1

去掉圆括号。

$0 = - 4 + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = - 4 + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = - 4 + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

解题步骤 4.5

在 $0 = - 4 + C$ 中求解 $C$ 。

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解题步骤 4.5.1

将方程重写为 $- 4 + C = 0$ 。

$- 4 + C = 0$

$B = - 4$

$A = - 4$

解题步骤 4.5.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$C = 4$

$B = - 4$

$A = - 4$

$C = 4$

$B = - 4$

$A = - 4$

解题步骤 4.6

求解方程组。

$C = 4 B = - 4 A = - 4$

解题步骤 4.7

列出所有解。

$C = 4, B = - 4, A = - 4$

解题步骤 5

将 $x + 1 + \frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$x + 1 - \frac{4}{x^{2}} - \frac{4}{x} + \frac{4}{x - 1}$

初级微积分 示例

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