初级微积分示例

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)}$

解题步骤 1

使用多项式长除法进行相除。

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解题步骤 1.1

展开 $x (x^{2} + 1)$ 。

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解题步骤 1.1.1

运用分配律。

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

解题步骤 1.1.2

将 $x$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + 1 x}$

解题步骤 1.1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + 1 x}$

解题步骤 1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{1 + 2} + 1 x}$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{3} + 1 x}$

解题步骤 1.1.6

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{3} + x}$

解题步骤 1.2

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

解题步骤 1.3

将被除数中的最高阶项 $x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{3}$ 。

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

解题步骤 1.4

将新的商式项乘以除数。

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

解题步骤 1.5

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{4} + 0 + x^{2} + 0$ 中的所有符号

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

解题步骤 1.6

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

$2 x^{2}$

$0$

解题步骤 1.7

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

$2 x^{2}$

$0$

$1$

解题步骤 1.8

最终答案为商加上余数除以除数。

$x + \frac{2 x^{2} + 1}{x^{3} + x}$

解题步骤 2

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 2.1

从 $x^{3} + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x}$

解题步骤 2.1.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

解题步骤 2.1.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

解题步骤 2.1.4

从 $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)}$

解题步骤 2.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

解题步骤 2.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $x (x^{2} + 1)$ 。

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 2.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1

约去公因数。

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 2.4.2

重写表达式。

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 2.5

约去 $x^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1

约去公因数。

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 2.5.2

用 $2 x^{2} + 1$ 除以 $1$ 。

$2 x^{2} + 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 2.6

化简每一项。

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解题步骤 2.6.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1.1

约去公因数。

$2 x^{2} + 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 2.6.1.2

用 $A (x^{2} + 1)$ 除以 $1$ 。

$2 x^{2} + 1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 2.6.2

运用分配律。

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 2.6.3

将 $A$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 2.6.4

约去 $x^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.4.1

约去公因数。

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 2.6.4.2

用 $(B x + C) (x)$ 除以 $1$ 。

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

解题步骤 2.6.5

运用分配律。

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

解题步骤 2.6.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.6.6.1

移动 $x$ 。

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

解题步骤 2.6.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

解题步骤 2.7

移动 $A$ 。

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

解题步骤 3

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 3.1

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$2 = A + B$

解题步骤 3.2

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = C$

解题步骤 3.3

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A$

解题步骤 3.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$2 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$2 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

解题步骤 4

求解方程组。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $C = 0$ 。

$C = 0$

$2 = A + B$

$1 = A$

解题步骤 4.2

将方程重写为 $A = 1$ 。

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

解题步骤 4.3

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $1$ 。

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解题步骤 4.3.1

使用 $1$ 替换 $2 = A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

解题步骤 4.3.2

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.1

去掉圆括号。

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

解题步骤 4.4

在 $2 = 1 + B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 4.4.1

将方程重写为 $1 + B = 2$ 。

$1 + B = 2$

$A = 1$

$C = 0$

解题步骤 4.4.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$B = 2 - 1$

$A = 1$

$C = 0$

解题步骤 4.4.2.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

解题步骤 4.5

求解方程组。

$B = 1 A = 1 C = 0$

解题步骤 4.6

列出所有解。

$B = 1, A = 1, C = 0$

解题步骤 5

将 $x + \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$x + \frac{1}{x} + \frac{1 x + 0}{x^{2} + 1}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

去掉圆括号。

$x + \frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

解题步骤 6.2

将 $(1) \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$x + \frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 6.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x + \frac{1}{x} + \frac{x}{x^{2} + 1}$

初级微积分 示例

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