初级微积分示例

$\frac{x^{2} + 6 x + 1}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 ${(x^{2} + 4)}^{2}$ 。

$\frac{(x^{2} + 6 x + 1) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.4

约去 ${(x^{2} + 4)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{(x^{2} + 6 x + 1) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.4.2

用 $x^{2} + 6 x + 1$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + 6 x + 1 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.5

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1

约去 ${(x^{2} + 4)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1.1

约去公因数。

$x^{2} + 6 x + 1 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.5.1.2

用 $A x + B$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.5.2

约去 ${(x^{2} + 4)}^{2}$ 和 $x^{2} + 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.1

从 $(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}$ 中分解出因数 $x^{2} + 4$ 。

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + \frac{(x^{2} + 4) ((C x + D) (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.2.2.1

乘以 $1$ 。

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + \frac{(x^{2} + 4) ((C x + D) (x^{2} + 4))}{(x^{2} + 4) \cdot 1}$

解题步骤 1.5.2.2.2

约去公因数。

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + \frac{(x^{2} + 4) ((C x + D) (x^{2} + 4))}{(x^{2} + 4) \cdot 1}$

解题步骤 1.5.2.2.3

重写表达式。

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 4)}{1}$

解题步骤 1.5.2.2.4

用 $(C x + D) (x^{2} + 4)$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + (C x + D) (x^{2} + 4)$

解题步骤 1.5.3

使用 FOIL 方法展开 $(C x + D) (x^{2} + 4)$ 。

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解题步骤 1.5.3.1

运用分配律。

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x (x^{2} + 4) + D (x^{2} + 4)$

解题步骤 1.5.3.2

运用分配律。

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 4 + D (x^{2} + 4)$

解题步骤 1.5.3.3

运用分配律。

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 4 + D x^{2} + D \cdot 4$

解题步骤 1.5.4

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.4.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 4 + D x^{2} + D \cdot 4$

解题步骤 1.5.4.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.4.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 4 + D x^{2} + D \cdot 4$

解题步骤 1.5.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 4 + D x^{2} + D \cdot 4$

解题步骤 1.5.4.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x^{3} + C x \cdot 4 + D x^{2} + D \cdot 4$

解题步骤 1.5.4.2

将 $4$ 移到 $C x$ 的左侧。

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x^{3} + 4 \cdot (C x) + D x^{2} + D \cdot 4$

解题步骤 1.5.4.3

将 $4$ 移到 $D$ 的左侧。

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x^{3} + 4 C x + D x^{2} + 4 D$

解题步骤 1.6

化简表达式。

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解题步骤 1.6.1

移动 $B$ 。

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + C x^{3} + 4 C x + D x^{2} + B + 4 D$

解题步骤 1.6.2

移动 $4 C x$ 。

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + C x^{3} + D x^{2} + 4 C x + B + 4 D$

解题步骤 1.6.3

移动 $A x$ 。

$x^{2} + 6 x + 1 = C x^{3} + D x^{2} + A x + 4 C x + B + 4 D$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边 $x^{3}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = C$

解题步骤 2.2

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = D$

解题步骤 2.3

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$6 = A + 4 C$

解题步骤 2.4

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = B + 4 D$

解题步骤 2.5

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = C$

$1 = D$

$6 = A + 4 C$

$1 = B + 4 D$

$0 = C$

$1 = D$

$6 = A + 4 C$

$1 = B + 4 D$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $C = 0$ 。

$C = 0$

$1 = D$

$6 = A + 4 C$

$1 = B + 4 D$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $0$ 。

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解题步骤 3.2.1

将方程重写为 $D = 1$ 。

$D = 1$

$C = 0$

$6 = A + 4 C$

$1 = B + 4 D$

解题步骤 3.2.2

使用 $0$ 替换 $6 = A + 4 C$ 中所有出现的 $C$ .

$6 = A + 4 (0)$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

化简 $A + 4 (0)$ 。

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解题步骤 3.2.3.1.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$6 = A + 0$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

解题步骤 3.2.3.1.2

将 $A$ 和 $0$ 相加。

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

解题步骤 3.3

将每个方程中所有出现的 $D$ 替换成 $1$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $A = 6$ 。

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

解题步骤 3.3.2

使用 $1$ 替换 $1 = B + 4 D$ 中所有出现的 $D$ .

$1 = B + 4 (1)$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$1 = B + 4$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

解题步骤 3.4

在 $1 = B + 4$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $B + 4 = 1$ 。

$B + 4 = 1$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

解题步骤 3.4.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.4.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$B = 1 - 4$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

解题步骤 3.4.2.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$B = - 3$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$B = - 3$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$B = - 3$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

解题步骤 3.5

求解方程组。

$B = - 3 A = 6 D = 1 C = 0$

解题步骤 3.6

列出所有解。

$B = - 3, A = 6, D = 1, C = 0$

解题步骤 4

将 $\frac{A x + B}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 4}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 的值。

$\frac{6 x - 3}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{0 x + 1}{x^{2} + 4}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $6$ 乘以 $x$ 。

$\frac{6 x - 3}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 1}{x^{2} + 4}$

解题步骤 5.2

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$\frac{6 x - 3}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{0 + 1}{x^{2} + 4}$

解题步骤 5.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{6 x - 3}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 4}$

初级微积分 示例

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