初级微积分示例

$\frac{11 x^{2} + 12 x}{(x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

从 $11 x^{2} + 12 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $11 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (11 x) + 12 x}{(x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}$

解题步骤 1.1.2

从 $12 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (11 x) + x \cdot 12}{(x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}$

解题步骤 1.1.3

从 $x (11 x) + x \cdot 12$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (11 x + 12)}{(x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}$

解题步骤 1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A x + B}{x^{2} + 10}$

解题步骤 1.3

$\frac{A x + B}{x^{2} + 10} + \frac{C x + D}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(x^{2} + 10) (x^{2} + 11)$ 。

$\frac{x (11 x + 12) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{(x^{2} + 10) (x^{2} + 11)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 10} + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.5

化简项。

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解题步骤 1.5.1

约去 $x^{2} + 10$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1.1

约去公因数。

$\frac{x (11 x + 12) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{(x^{2} + 10) (x^{2} + 11)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 10} + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.5.1.2

重写表达式。

$\frac{x (11 x + 12) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 10} + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.5.2

约去 $x^{2} + 11$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.1

约去公因数。

$\frac{x (11 x + 12) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 10} + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.5.2.2

用 $x (11 x + 12)$ 除以 $1$ 。

$x (11 x + 12) = \frac{(A x + B) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 10} + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.5.3

运用分配律。

$x (11 x) + x \cdot 12 = \frac{(A x + B) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 10} + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.5.4

重新排序。

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解题步骤 1.5.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$11 x \cdot x + x \cdot 12 = \frac{(A x + B) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 10} + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.5.4.2

将 $12$ 移到 $x$ 的左侧。

$11 x \cdot x + 12 \cdot x = \frac{(A x + B) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 10} + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.6.1

移动 $x$ 。

$11 (x \cdot x) + 12 \cdot x = \frac{(A x + B) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 10} + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$11 x^{2} + 12 \cdot x = \frac{(A x + B) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 10} + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

$11 x^{2} + 12 x = \frac{(A x + B) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 10} + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.7

化简每一项。

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解题步骤 1.7.1

约去 $x^{2} + 10$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.1.1

约去公因数。

$11 x^{2} + 12 x = \frac{(A x + B) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 10} + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.7.1.2

用 $(A x + B) (x^{2} + 11)$ 除以 $1$ 。

$11 x^{2} + 12 x = (A x + B) (x^{2} + 11) + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.7.2

使用 FOIL 方法展开 $(A x + B) (x^{2} + 11)$ 。

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解题步骤 1.7.2.1

运用分配律。

$11 x^{2} + 12 x = A x (x^{2} + 11) + B (x^{2} + 11) + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.7.2.2

运用分配律。

$11 x^{2} + 12 x = A x \cdot x^{2} + A x \cdot 11 + B (x^{2} + 11) + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.7.2.3

运用分配律。

$11 x^{2} + 12 x = A x \cdot x^{2} + A x \cdot 11 + B x^{2} + B \cdot 11 + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.7.3

化简每一项。

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解题步骤 1.7.3.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.7.3.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$11 x^{2} + 12 x = A (x^{2} x) + A x \cdot 11 + B x^{2} + B \cdot 11 + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.7.3.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.7.3.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$11 x^{2} + 12 x = A (x^{2} x) + A x \cdot 11 + B x^{2} + B \cdot 11 + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.7.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$11 x^{2} + 12 x = A x^{2 + 1} + A x \cdot 11 + B x^{2} + B \cdot 11 + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.7.3.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + A x \cdot 11 + B x^{2} + B \cdot 11 + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.7.3.2

将 $11$ 移到 $A x$ 的左侧。

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 \cdot (A x) + B x^{2} + B \cdot 11 + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.7.3.3

将 $11$ 移到 $B$ 的左侧。

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 A x + B x^{2} + 11 B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.7.4

约去 $x^{2} + 11$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.4.1

约去公因数。

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 A x + B x^{2} + 11 B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

解题步骤 1.7.4.2

用 $(C x + D) (x^{2} + 10)$ 除以 $1$ 。

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 A x + B x^{2} + 11 B + (C x + D) (x^{2} + 10)$

解题步骤 1.7.5

使用 FOIL 方法展开 $(C x + D) (x^{2} + 10)$ 。

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解题步骤 1.7.5.1

运用分配律。

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 A x + B x^{2} + 11 B + C x (x^{2} + 10) + D (x^{2} + 10)$

解题步骤 1.7.5.2

运用分配律。

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 A x + B x^{2} + 11 B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 10 + D (x^{2} + 10)$

解题步骤 1.7.5.3

运用分配律。

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 A x + B x^{2} + 11 B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 10 + D x^{2} + D \cdot 10$

解题步骤 1.7.6

化简每一项。

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解题步骤 1.7.6.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.7.6.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 A x + B x^{2} + 11 B + C (x^{2} x) + C x \cdot 10 + D x^{2} + D \cdot 10$

解题步骤 1.7.6.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.7.6.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 A x + B x^{2} + 11 B + C (x^{2} x) + C x \cdot 10 + D x^{2} + D \cdot 10$

解题步骤 1.7.6.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 A x + B x^{2} + 11 B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 10 + D x^{2} + D \cdot 10$

解题步骤 1.7.6.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 A x + B x^{2} + 11 B + C x^{3} + C x \cdot 10 + D x^{2} + D \cdot 10$

解题步骤 1.7.6.2

将 $10$ 移到 $C x$ 的左侧。

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 A x + B x^{2} + 11 B + C x^{3} + 10 \cdot (C x) + D x^{2} + D \cdot 10$

解题步骤 1.7.6.3

将 $10$ 移到 $D$ 的左侧。

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 A x + B x^{2} + 11 B + C x^{3} + 10 C x + D x^{2} + 10 D$

解题步骤 1.8

化简表达式。

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解题步骤 1.8.1

移动 $A$ 。

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 x A + B x^{2} + 11 B + C x^{3} + 10 C x + D x^{2} + 10 D$

解题步骤 1.8.2

将 $B$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 x A + B x^{2} + 11 B + C x^{3} + 10 C x + D x^{2} + 10 D$

解题步骤 1.8.3

移动 $11 B$ 。

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 x A + B x^{2} + C x^{3} + 10 C x + D x^{2} + 11 B + 10 D$

解题步骤 1.8.4

移动 $10 C x$ 。

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 x A + B x^{2} + C x^{3} + D x^{2} + 10 C x + 11 B + 10 D$

解题步骤 1.8.5

移动 $11 x A$ 。

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + B x^{2} + C x^{3} + D x^{2} + 11 x A + 10 C x + 11 B + 10 D$

解题步骤 1.8.6

移动 $B x^{2}$ 。

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + C x^{3} + B x^{2} + D x^{2} + 11 x A + 10 C x + 11 B + 10 D$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边 $x^{3}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A + C$

解题步骤 2.2

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$11 = B + D$

解题步骤 2.3

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$12 = 11 A + 10 C$

解题步骤 2.4

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = 11 B + 10 D$

解题步骤 2.5

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = A + C$

$11 = B + D$

$12 = 11 A + 10 C$

$0 = 11 B + 10 D$

$0 = A + C$

$11 = B + D$

$12 = 11 A + 10 C$

$0 = 11 B + 10 D$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

在 $0 = A + C$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 3.1.1

将方程重写为 $A + C = 0$ 。

$A + C = 0$

$11 = B + D$

$12 = 11 A + 10 C$

$0 = 11 B + 10 D$

解题步骤 3.1.2

从等式两边同时减去 $C$ 。

$A = - C$

$11 = B + D$

$12 = 11 A + 10 C$

$0 = 11 B + 10 D$

$A = - C$

$11 = B + D$

$12 = 11 A + 10 C$

$0 = 11 B + 10 D$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $- C$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $- C$ 替换 $12 = 11 A + 10 C$ 中所有出现的 $A$ .

$12 = 11 (- C) + 10 C$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $11 (- C) + 10 C$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $11$ 。

$12 = - 11 C + 10 C$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $- 11 C$ 和 $10 C$ 相加。

$12 = - C$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

$12 = - C$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

$12 = - C$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

$12 = - C$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

解题步骤 3.3

在 $12 = - C$ 中求解 $C$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $- C = 12$ 。

$- C = 12$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

解题步骤 3.3.2

将 $- C = 12$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $- C = 12$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- C}{- 1} = \frac{12}{- 1}$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

解题步骤 3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{C}{1} = \frac{12}{- 1}$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

解题步骤 3.3.2.2.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$C = \frac{12}{- 1}$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

$C = \frac{12}{- 1}$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

解题步骤 3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.3.1

用 $12$ 除以 $- 1$ 。

$C = - 12$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

$C = - 12$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

$C = - 12$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

$C = - 12$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $- 12$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用 $- 12$ 替换 $A = - C$ 中所有出现的 $C$ .

$A = - (- 12)$

$C = - 12$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 12$ 。

$A = 12$

$C = - 12$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

$A = 12$

$C = - 12$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

$A = 12$

$C = - 12$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

解题步骤 3.5

在 $11 = B + D$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $B + D = 11$ 。

$B + D = 11$

$A = 12$

$C = - 12$

$0 = 11 B + 10 D$

解题步骤 3.5.2

从等式两边同时减去 $D$ 。

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

$0 = 11 B + 10 D$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

$0 = 11 B + 10 D$

解题步骤 3.6

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $11 - D$ 。

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解题步骤 3.6.1

使用 $11 - D$ 替换 $0 = 11 B + 10 D$ 中所有出现的 $B$ .

$0 = 11 (11 - D) + 10 D$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

解题步骤 3.6.2

化简右边。

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解题步骤 3.6.2.1

化简 $11 (11 - D) + 10 D$ 。

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解题步骤 3.6.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.6.2.1.1.1

运用分配律。

$0 = 11 \cdot 11 + 11 (- D) + 10 D$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

解题步骤 3.6.2.1.1.2

将 $11$ 乘以 $11$ 。

$0 = 121 + 11 (- D) + 10 D$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

解题步骤 3.6.2.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $11$ 。

$0 = 121 - 11 D + 10 D$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

$0 = 121 - 11 D + 10 D$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

解题步骤 3.6.2.1.2

将 $- 11 D$ 和 $10 D$ 相加。

$0 = 121 - D$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

$0 = 121 - D$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

$0 = 121 - D$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

$0 = 121 - D$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

解题步骤 3.7

在 $0 = 121 - D$ 中求解 $D$ 。

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解题步骤 3.7.1

将方程重写为 $121 - D = 0$ 。

$121 - D = 0$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

解题步骤 3.7.2

从等式两边同时减去 $121$ 。

$- D = - 121$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

解题步骤 3.7.3

将 $- D = - 121$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.7.3.1

将 $- D = - 121$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- D}{- 1} = \frac{- 121}{- 1}$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

解题步骤 3.7.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.7.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{D}{1} = \frac{- 121}{- 1}$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

解题步骤 3.7.3.2.2

用 $D$ 除以 $1$ 。

$D = \frac{- 121}{- 1}$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

$D = \frac{- 121}{- 1}$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

解题步骤 3.7.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.7.3.3.1

用 $- 121$ 除以 $- 1$ 。

$D = 121$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

$D = 121$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

$D = 121$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

$D = 121$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

解题步骤 3.8

将每个方程中所有出现的 $D$ 替换成 $121$ 。

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解题步骤 3.8.1

使用 $121$ 替换 $B = 11 - D$ 中所有出现的 $D$ .

$B = 11 - (121)$

$D = 121$

$A = 12$

$C = - 12$

解题步骤 3.8.2

化简右边。

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解题步骤 3.8.2.1

化简 $11 - (121)$ 。

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解题步骤 3.8.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $121$ 。

$B = 11 - 121$

$D = 121$

$A = 12$

$C = - 12$

解题步骤 3.8.2.1.2

从 $11$ 中减去 $121$ 。

$B = - 110$

$D = 121$

$A = 12$

$C = - 12$

$B = - 110$

$D = 121$

$A = 12$

$C = - 12$

$B = - 110$

$D = 121$

$A = 12$

$C = - 12$

$B = - 110$

$D = 121$

$A = 12$

$C = - 12$

解题步骤 3.9

列出所有解。

$B = - 110, D = 121, A = 12, C = - 12$

解题步骤 4

将 $\frac{A x + B}{x^{2} + 10} + \frac{C x + D}{x^{2} + 11}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 的值。

$\frac{12 x - 110}{x^{2} + 10} + \frac{- 12 x + 121}{x^{2} + 11}$

初级微积分 示例

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