初级微积分示例

$\frac{10 x + 20}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

对分数进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

从 $10 x + 20$ 中分解出因数 $10$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $10 x$ 中分解出因数 $10$ 。

$\frac{10 (x) + 20}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

解题步骤 1.1.1.2

从 $20$ 中分解出因数 $10$ 。

$\frac{10 x + 10 \cdot 2}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

解题步骤 1.1.1.3

从 $10 x + 10 \cdot 2$ 中分解出因数 $10$ 。

$\frac{10 (x + 2)}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

解题步骤 1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{10 (x + 2)}{(x^{3} - 2 x^{2}) - 4 x + 8}$

解题步骤 1.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{10 (x + 2)}{x^{2} (x - 2) - 4 (x - 2)}$

解题步骤 1.1.3

通过因式分解出最大公因数 $x - 2$ 来因式分解多项式。

$\frac{10 (x + 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

解题步骤 1.1.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{10 (x + 2)}{(x - 2) (x^{2} - 2^{2})}$

解题步骤 1.1.5

因数。

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解题步骤 1.1.5.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{10 (x + 2)}{(x - 2) ((x + 2) (x - 2))}$

解题步骤 1.1.5.2

去掉多余的括号。

$\frac{10 (x + 2)}{(x - 2) (x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 1.1.6

合并指数。

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解题步骤 1.1.6.1

对 $x - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{1} (x - 2) (x + 2)}$

解题步骤 1.1.6.2

对 $x - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1} (x + 2)}$

解题步骤 1.1.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{1 + 1} (x + 2)}$

解题步骤 1.1.6.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

解题步骤 1.1.7

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$ 。

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解题步骤 1.1.7.1

约去公因数。

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

解题步骤 1.1.7.2

重写表达式。

$\frac{10}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

解题步骤 1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 ${(x - 2)}^{2}$ 。

$\frac{10 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

解题步骤 1.5

约去 ${(x - 2)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

约去公因数。

$\frac{10 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

解题步骤 1.5.2

用 $10$ 除以 $1$ 。

$10 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

解题步骤 1.6

化简每一项。

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解题步骤 1.6.1

约去 ${(x - 2)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1.1

约去公因数。

$10 = \frac{A {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

解题步骤 1.6.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$10 = A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

解题步骤 1.6.2

约去 ${(x - 2)}^{2}$ 和 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.2.1

从 $(B) {(x - 2)}^{2}$ 中分解出因数 $x - 2$ 。

$10 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{x - 2}$

解题步骤 1.6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.6.2.2.1

乘以 $1$ 。

$10 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

解题步骤 1.6.2.2.2

约去公因数。

$10 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

解题步骤 1.6.2.2.3

重写表达式。

$10 = A + \frac{B (x - 2)}{1}$

解题步骤 1.6.2.2.4

用 $B (x - 2)$ 除以 $1$ 。

$10 = A + B (x - 2)$

解题步骤 1.6.3

运用分配律。

$10 = A + B x + B \cdot - 2$

解题步骤 1.6.4

将 $- 2$ 移到 $B$ 的左侧。

$10 = A + B x - 2 B$

解题步骤 1.7

将 $A$ 和 $B x$ 重新排序。

$10 = B x + A - 2 B$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = B$

解题步骤 2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$10 = A - 2 B$

解题步骤 2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = B$

$10 = A - 2 B$

$0 = B$

$10 = A - 2 B$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $B = 0$ 。

$B = 0$

$10 = A - 2 B$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $0$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $0$ 替换 $10 = A - 2 B$ 中所有出现的 $B$ .

$10 = A - 2 \cdot 0$

$B = 0$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $A - 2 \cdot 0$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$10 = A + 0$

$B = 0$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $A$ 和 $0$ 相加。

$10 = A$

$B = 0$

$10 = A$

$B = 0$

$10 = A$

$B = 0$

$10 = A$

$B = 0$

解题步骤 3.3

将方程重写为 $A = 10$ 。

$A = 10$

$B = 0$

解题步骤 3.4

求解方程组。

$A = 10 B = 0$

解题步骤 3.5

列出所有解。

$A = 10, B = 0$

解题步骤 4

将 $\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{10}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{0}{x - 2}$

初级微积分 示例

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