初级微积分示例

$\frac{10 x^{2} + 10 x + 3}{(x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x + 1}$

解题步骤 1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3 x + 3}$

解题步骤 1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)$ 。

$\frac{(10 x^{2} + 10 x + 3) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{(x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

解题步骤 1.4

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{(10 x^{2} + 10 x + 3) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{(x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\frac{(10 x^{2} + 10 x + 3) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

解题步骤 1.5

约去 $x^{2} + 3 x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

约去公因数。

$\frac{(10 x^{2} + 10 x + 3) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

解题步骤 1.5.2

用 $10 x^{2} + 10 x + 3$ 除以 $1$ 。

$10 x^{2} + 10 x + 3 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

解题步骤 1.6

化简每一项。

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解题步骤 1.6.1

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1.1

约去公因数。

$10 x^{2} + 10 x + 3 = \frac{A (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

解题步骤 1.6.1.2

用 $(A) (x^{2} + 3 x + 3)$ 除以 $1$ 。

$10 x^{2} + 10 x + 3 = (A) (x^{2} + 3 x + 3) + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

解题步骤 1.6.2

运用分配律。

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + A (3 x) + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

解题步骤 1.6.3

化简。

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解题步骤 1.6.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

解题步骤 1.6.3.2

将 $3$ 移到 $A$ 的左侧。

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 \cdot A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

解题步骤 1.6.4

约去 $x^{2} + 3 x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.4.1

约去公因数。

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

解题步骤 1.6.4.2

用 $(B x + C) (x + 1)$ 除以 $1$ 。

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + (B x + C) (x + 1)$

解题步骤 1.6.5

使用 FOIL 方法展开 $(B x + C) (x + 1)$ 。

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解题步骤 1.6.5.1

运用分配律。

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x (x + 1) + C (x + 1)$

解题步骤 1.6.5.2

运用分配律。

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C (x + 1)$

解题步骤 1.6.5.3

运用分配律。

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

解题步骤 1.6.6

化简每一项。

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解题步骤 1.6.6.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.6.6.1.1

移动 $x$ 。

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B (x \cdot x) + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

解题步骤 1.6.6.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x^{2} + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

解题步骤 1.6.6.2

将 $B$ 乘以 $1$ 。

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x^{2} + B x + C x + C \cdot 1$

解题步骤 1.6.6.3

将 $C$ 乘以 $1$ 。

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x^{2} + B x + C x + C$

解题步骤 1.7

化简表达式。

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解题步骤 1.7.1

移动 $A$ 。

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 x A + 3 A + B x^{2} + B x + C x + C$

解题步骤 1.7.2

将 $B$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 x A + 3 A + B x^{2} + B x + C x + C$

解题步骤 1.7.3

将 $B$ 和 $x$ 重新排序。

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 x A + 3 A + B x^{2} + B x + C x + C$

解题步骤 1.7.4

移动 $3 A$ 。

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 x A + B x^{2} + B x + C x + 3 A + C$

解题步骤 1.7.5

移动 $3 x A$ 。

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + B x^{2} + 3 x A + B x + C x + 3 A + C$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$10 = A + B$

解题步骤 2.2

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$10 = 3 A + B + C$

解题步骤 2.3

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$3 = 3 A + C$

解题步骤 2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$10 = A + B$

$10 = 3 A + B + C$

$3 = 3 A + C$

$10 = A + B$

$10 = 3 A + B + C$

$3 = 3 A + C$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

在 $10 = A + B$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 3.1.1

将方程重写为 $A + B = 10$ 。

$A + B = 10$

$10 = 3 A + B + C$

$3 = 3 A + C$

解题步骤 3.1.2

从等式两边同时减去 $B$ 。

$A = 10 - B$

$10 = 3 A + B + C$

$3 = 3 A + C$

$A = 10 - B$

$10 = 3 A + B + C$

$3 = 3 A + C$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $10 - B$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $10 - B$ 替换 $10 = 3 A + B + C$ 中所有出现的 $A$ .

$10 = 3 (10 - B) + B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $3 (10 - B) + B + C$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

运用分配律。

$10 = 3 \cdot 10 + 3 (- B) + B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$10 = 30 + 3 (- B) + B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

解题步骤 3.2.2.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$10 = 30 - 3 B + B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

$10 = 30 - 3 B + B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $- 3 B$ 和 $B$ 相加。

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

解题步骤 3.2.3

使用 $10 - B$ 替换 $3 = 3 A + C$ 中所有出现的 $A$ .

$3 = 3 (10 - B) + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

解题步骤 3.2.4

化简右边。

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解题步骤 3.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.4.1.1

运用分配律。

$3 = 3 \cdot 10 + 3 (- B) + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

解题步骤 3.2.4.1.2

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$3 = 30 + 3 (- B) + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

解题步骤 3.2.4.1.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$3 = 30 - 3 B + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 30 - 3 B + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 30 - 3 B + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 30 - 3 B + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

解题步骤 3.3

将 $10$ 和 $- B$ 重新排序。

$A = - B + 10$

$3 = 30 - 3 B + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

解题步骤 3.4

在 $3 = 30 - 3 B + C$ 中求解 $C$ 。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $30 - 3 B + C = 3$ 。

$30 - 3 B + C = 3$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

解题步骤 3.4.2

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.4.2.1

从等式两边同时减去 $30$ 。

$- 3 B + C = 3 - 30$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

解题步骤 3.4.2.2

在等式两边都加上 $3 B$ 。

$C = 3 - 30 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

解题步骤 3.4.2.3

从 $3$ 中减去 $30$ 。

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

解题步骤 3.5

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $- 27 + 3 B$ 。

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解题步骤 3.5.1

使用 $- 27 + 3 B$ 替换 $10 = 30 - 2 B + C$ 中所有出现的 $C$ .

$10 = 30 - 2 B - 27 + 3 B$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

解题步骤 3.5.2

化简 $10 = 30 - 2 B - 27 + 3 B$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.1.1

去掉圆括号。

$10 = 30 - 2 B - 27 + 3 B$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B - 27 + 3 B$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

解题步骤 3.5.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.2.1

化简 $30 - 2 B - 27 + 3 B$ 。

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解题步骤 3.5.2.2.1.1

从 $30$ 中减去 $27$ 。

$10 = - 2 B + 3 + 3 B$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

解题步骤 3.5.2.2.1.2

将 $- 2 B$ 和 $3 B$ 相加。

$10 = B + 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = B + 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = B + 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = B + 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = B + 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

解题步骤 3.6

在 $10 = B + 3$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 3.6.1

将方程重写为 $B + 3 = 10$ 。

$B + 3 = 10$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

解题步骤 3.6.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.6.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$B = 10 - 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

解题步骤 3.6.2.2

从 $10$ 中减去 $3$ 。

$B = 7$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$B = 7$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$B = 7$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

解题步骤 3.7

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $7$ 。

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解题步骤 3.7.1

使用 $7$ 替换 $C = - 27 + 3 B$ 中所有出现的 $B$ .

$C = - 27 + 3 (7)$

$B = 7$

$A = - B + 10$

解题步骤 3.7.2

化简右边。

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解题步骤 3.7.2.1

化简 $- 27 + 3 (7)$ 。

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解题步骤 3.7.2.1.1

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$C = - 27 + 21$

$B = 7$

$A = - B + 10$

解题步骤 3.7.2.1.2

将 $- 27$ 和 $21$ 相加。

$C = - 6$

$B = 7$

$A = - B + 10$

$C = - 6$

$B = 7$

$A = - B + 10$

$C = - 6$

$B = 7$

$A = - B + 10$

解题步骤 3.7.3

使用 $7$ 替换 $A = - B + 10$ 中所有出现的 $B$ .

$A = - (7) + 10$

$C = - 6$

$B = 7$

解题步骤 3.7.4

化简右边。

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解题步骤 3.7.4.1

化简 $- (7) + 10$ 。

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解题步骤 3.7.4.1.1

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$A = - 7 + 10$

$C = - 6$

$B = 7$

解题步骤 3.7.4.1.2

将 $- 7$ 和 $10$ 相加。

$A = 3$

$C = - 6$

$B = 7$

$A = 3$

$C = - 6$

$B = 7$

$A = 3$

$C = - 6$

$B = 7$

$A = 3$

$C = - 6$

$B = 7$

解题步骤 3.8

列出所有解。

$A = 3, C = - 6, B = 7$

解题步骤 4

将 $\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3 x + 3}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$\frac{3}{x + 1} + \frac{7 x - 6}{x^{2} + 3 x + 3}$

解题步骤 5

将 $7$ 乘以 $x$ 。

$\frac{3}{x + 1} + \frac{7 x - 6}{x^{2} + 3 x + 3}$

初级微积分 示例

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