初级微积分示例

$\frac{41 x - 37}{- 6 x^{2} - 11 x + 7}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

分组因式分解。

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解题步骤 1.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 6 \cdot 7 = - 42$ 并且它们的和为 $b = - 11$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $- 11 x$ 中分解出因数 $- 11$ 。

$\frac{41 x - 37}{- 6 x^{2} - 11 (x) + 7}$

解题步骤 1.1.1.2

把 $- 11$ 重写为 $3$ 加 $- 14$

$\frac{41 x - 37}{- 6 x^{2} + (3 - 14) x + 7}$

解题步骤 1.1.1.3

运用分配律。

$\frac{41 x - 37}{- 6 x^{2} + 3 x - 14 x + 7}$

解题步骤 1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{41 x - 37}{(- 6 x^{2} + 3 x) - 14 x + 7}$

解题步骤 1.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{41 x - 37}{3 x (- 2 x + 1) + 7 (- 2 x + 1)}$

解题步骤 1.1.3

通过因式分解出最大公因数 $- 2 x + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{41 x - 37}{(- 2 x + 1) (3 x + 7)}$

解题步骤 1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{- 2 x + 1}$

解题步骤 1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{- 2 x + 1} + \frac{B}{3 x + 7}$

解题步骤 1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(- 2 x + 1) (3 x + 7)$ 。

$\frac{(41 x - 37) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{(- 2 x + 1) (3 x + 7)} = \frac{(A) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

解题步骤 1.5

约去 $- 2 x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

约去公因数。

$\frac{(41 x - 37) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{(- 2 x + 1) (3 x + 7)} = \frac{(A) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

解题步骤 1.5.2

重写表达式。

$\frac{(41 x - 37) (3 x + 7)}{3 x + 7} = \frac{(A) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

解题步骤 1.6

约去 $3 x + 7$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1

约去公因数。

$\frac{(41 x - 37) (3 x + 7)}{3 x + 7} = \frac{(A) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

解题步骤 1.6.2

用 $41 x - 37$ 除以 $1$ 。

$41 x - 37 = \frac{(A) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

解题步骤 1.7

化简每一项。

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解题步骤 1.7.1

约去 $- 2 x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.1.1

约去公因数。

$41 x - 37 = \frac{A (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

解题步骤 1.7.1.2

用 $(A) (3 x + 7)$ 除以 $1$ 。

$41 x - 37 = (A) (3 x + 7) + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

解题步骤 1.7.2

运用分配律。

$41 x - 37 = A (3 x) + A \cdot 7 + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

解题步骤 1.7.3

使用乘法的交换性质重写。

$41 x - 37 = 3 A x + A \cdot 7 + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

解题步骤 1.7.4

将 $7$ 移到 $A$ 的左侧。

$41 x - 37 = 3 A x + 7 \cdot A + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

解题步骤 1.7.5

约去 $3 x + 7$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.5.1

约去公因数。

$41 x - 37 = 3 A x + 7 A + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

解题步骤 1.7.5.2

用 $(B) (- 2 x + 1)$ 除以 $1$ 。

$41 x - 37 = 3 A x + 7 A + (B) (- 2 x + 1)$

解题步骤 1.7.6

运用分配律。

$41 x - 37 = 3 A x + 7 A + B (- 2 x) + B \cdot 1$

解题步骤 1.7.7

使用乘法的交换性质重写。

$41 x - 37 = 3 A x + 7 A - 2 B x + B \cdot 1$

解题步骤 1.7.8

将 $B$ 乘以 $1$ 。

$41 x - 37 = 3 A x + 7 A - 2 B x + B$

解题步骤 1.8

重新排序。

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解题步骤 1.8.1

移动 $A$ 。

$41 x - 37 = 3 x A + 7 A - 2 B x + B$

解题步骤 1.8.2

移动 $B$ 。

$41 x - 37 = 3 x A + 7 A - 2 x B + B$

解题步骤 1.8.3

移动 $7 A$ 。

$41 x - 37 = 3 x A - 2 x B + 7 A + B$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$41 = 3 A - 2 B$

解题步骤 2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 37 = 7 A + B$

解题步骤 2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$41 = 3 A - 2 B$

$- 37 = 7 A + B$

$41 = 3 A - 2 B$

$- 37 = 7 A + B$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

在 $- 37 = 7 A + B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 3.1.1

将方程重写为 $7 A + B = - 37$ 。

$7 A + B = - 37$

$41 = 3 A - 2 B$

解题步骤 3.1.2

从等式两边同时减去 $7 A$ 。

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 3 A - 2 B$

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 3 A - 2 B$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $- 37 - 7 A$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $- 37 - 7 A$ 替换 $41 = 3 A - 2 B$ 中所有出现的 $B$ .

$41 = 3 A - 2 (- 37 - 7 A)$

$B = - 37 - 7 A$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $3 A - 2 (- 37 - 7 A)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

运用分配律。

$41 = 3 A - 2 \cdot - 37 - 2 (- 7 A)$

$B = - 37 - 7 A$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 37$ 。

$41 = 3 A + 74 - 2 (- 7 A)$

$B = - 37 - 7 A$

解题步骤 3.2.2.1.1.3

将 $- 7$ 乘以 $- 2$ 。

$41 = 3 A + 74 + 14 A$

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 3 A + 74 + 14 A$

$B = - 37 - 7 A$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $3 A$ 和 $14 A$ 相加。

$41 = 17 A + 74$

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 17 A + 74$

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 17 A + 74$

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 17 A + 74$

$B = - 37 - 7 A$

解题步骤 3.3

在 $41 = 17 A + 74$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $17 A + 74 = 41$ 。

$17 A + 74 = 41$

$B = - 37 - 7 A$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $A$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

从等式两边同时减去 $74$ 。

$17 A = 41 - 74$

$B = - 37 - 7 A$

解题步骤 3.3.2.2

从 $41$ 中减去 $74$ 。

$17 A = - 33$

$B = - 37 - 7 A$

$17 A = - 33$

$B = - 37 - 7 A$

解题步骤 3.3.3

将 $17 A = - 33$ 中的每一项除以 $17$ 并化简。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $17 A = - 33$ 中的每一项都除以 $17$ 。

$\frac{17 A}{17} = \frac{- 33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

解题步骤 3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.3.2.1

约去 $17$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{17 A}{17} = \frac{- 33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

解题步骤 3.3.3.2.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{- 33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

$A = \frac{- 33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

$A = \frac{- 33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

解题步骤 3.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $- \frac{33}{17}$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用 $- \frac{33}{17}$ 替换 $B = - 37 - 7 A$ 中所有出现的 $A$ .

$B = - 37 - 7 (- \frac{33}{17})$

$A = - \frac{33}{17}$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 $- 37 - 7 (- \frac{33}{17})$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

乘以 $- 7 (- \frac{33}{17})$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$B = - 37 + 7 (\frac{33}{17})$

$A = - \frac{33}{17}$

解题步骤 3.4.2.1.1.2

组合 $7$ 和 $\frac{33}{17}$ 。

$B = - 37 + \frac{7 \cdot 33}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

解题步骤 3.4.2.1.1.3

将 $7$ 乘以 $33$ 。

$B = - 37 + \frac{231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - 37 + \frac{231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

解题步骤 3.4.2.1.2

要将 $- 37$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{17}{17}$ 。

$B = - 37 \cdot \frac{17}{17} + \frac{231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

解题步骤 3.4.2.1.3

组合 $- 37$ 和 $\frac{17}{17}$ 。

$B = \frac{- 37 \cdot 17}{17} + \frac{231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

解题步骤 3.4.2.1.4

在公分母上合并分子。

$B = \frac{- 37 \cdot 17 + 231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

解题步骤 3.4.2.1.5

化简分子。

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解题步骤 3.4.2.1.5.1

将 $- 37$ 乘以 $17$ 。

$B = \frac{- 629 + 231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

解题步骤 3.4.2.1.5.2

将 $- 629$ 和 $231$ 相加。

$B = \frac{- 398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = \frac{- 398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

解题步骤 3.4.2.1.6

将负号移到分数的前面。

$B = - \frac{398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - \frac{398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - \frac{398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - \frac{398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

解题步骤 3.5

列出所有解。

$B = - \frac{398}{17}, A = - \frac{33}{17}$

解题步骤 4

将 $\frac{A}{- 2 x + 1} + \frac{B}{3 x + 7}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{- \frac{33}{17}}{- 2 x + 1} + \frac{- \frac{398}{17}}{3 x + 7}$

初级微积分 示例

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