初级微积分示例

$- 2 x^{2} - 1$

解题步骤 1

交换变量。

$x = - 2 y^{2} - 1$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $- 2 y^{2} - 1 = x$ 。

$- 2 y^{2} - 1 = x$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$- 2 y^{2} = x + 1$

解题步骤 2.3

将 $- 2 y^{2} = x + 1$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 2 y^{2} = x + 1$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{1}{- 2}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{1}{- 2}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{x}{- 2} + \frac{1}{- 2}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y^{2} = - \frac{x}{2} + \frac{1}{- 2}$

解题步骤 2.3.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y^{2} = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{2} - \frac{1}{2}}$

解题步骤 2.5

化简 $\pm \sqrt{- \frac{x}{2} - \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.5.1

从 $- \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 2.5.1.1

从 $- \frac{x}{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \pm \sqrt{- (\frac{x}{2}) - \frac{1}{2}}$

解题步骤 2.5.1.2

从 $- \frac{1}{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \pm \sqrt{- (\frac{x}{2}) - (\frac{1}{2})}$

解题步骤 2.5.1.3

从 $- (\frac{x}{2}) - (\frac{1}{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \pm \sqrt{- (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})}$

解题步骤 2.5.2

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

解题步骤 2.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

解题步骤 2.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

解题步骤 2.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

$y = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

$y = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}, - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}, - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$ 是否为 $f (x) = - 2 x^{2} - 1$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = - 2 x^{2} - 1$ 和 $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}, - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 4.2

求 $f (x) = - 2 x^{2} - 1$ 的值域。

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解题步骤 4.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(- \infty, - 1]$

解题步骤 4.3

求 $\sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$ 的定义域。

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解题步骤 4.3.1

将 $\sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$- \frac{x + 1}{2} \geq 0$

解题步骤 4.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $- \frac{x + 1}{2} \geq 0$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.3.2.1.1

将 $- \frac{x + 1}{2} \geq 0$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- \frac{x + 1}{2}}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

解题步骤 4.3.2.1.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\frac{x + 1}{2}}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

解题步骤 4.3.2.1.2.2

用 $\frac{x + 1}{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{x + 1}{2} \leq \frac{0}{- 1}$

解题步骤 4.3.2.1.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.1.3.1

用 $0$ 除以 $- 1$ 。

$\frac{x + 1}{2} \leq 0$

解题步骤 4.3.2.2

两边同时乘以 $2$ 。

$\frac{x + 1}{2} \cdot 2 \leq 0 \cdot 2$

解题步骤 4.3.2.3

化简。

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解题步骤 4.3.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.3.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{x + 1}{2} \cdot 2 \leq 0 \cdot 2$

解题步骤 4.3.2.3.1.1.2

重写表达式。

$x + 1 \leq 0 \cdot 2$

解题步骤 4.3.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.3.2.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$x + 1 \leq 0$

解题步骤 4.3.2.4

从不等式两边同时减去 $1$ 。

$x \leq - 1$

解题步骤 4.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, - 1]$

解题步骤 4.4

求 $f (x) = - 2 x^{2} - 1$ 的定义域。

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解题步骤 4.4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 4.5

由于 $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}, - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$ 的定义域为 $f (x) = - 2 x^{2} - 1$ 的值域，而 $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}, - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$ 的值域又为 $f (x) = - 2 x^{2} - 1$ 的定义域，因此 $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}, - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$ 为 $f (x) = - 2 x^{2} - 1$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}, - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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