初级微积分示例

$(3 \sqrt{3}, 9)$

解题步骤 1

使用换算公式，把直角坐标系 $(x, y)$ 转换成极坐标系 $(r, θ)$ 。

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 2

使用实际值替换 $x$ 和 $y$ 。

$r = \sqrt{{(3 \sqrt{3})}^{2} + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3

求极坐标的大小。

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解题步骤 3.1

化简表达式。

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解题步骤 3.1.1

对 $3 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$r = \sqrt{3^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \sqrt{9 {\sqrt{3}}^{2} + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{9 {\sqrt{3}}^{2} + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$r = \sqrt{9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$r = \sqrt{9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$r = \sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.1

约去公因数。

$r = \sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.2.4.2

重写表达式。

$r = \sqrt{9 \cdot 3 + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{9 \cdot 3 + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.2.5

计算指数。

$r = \sqrt{9 \cdot 3 + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{9 \cdot 3 + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$r = \sqrt{27 + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.3.2

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \sqrt{27 + 81}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.3.3

将 $27$ 和 $81$ 相加。

$r = \sqrt{108}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{108}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.4

将 $108$ 重写为 $6^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.4.1

从 $108$ 中分解出因数 $36$ 。

$r = \sqrt{36 (3)}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.4.2

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$r = \sqrt{6^{2} \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{6^{2} \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.5

从根式下提出各项。

$r = 6 \sqrt{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 6 \sqrt{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 4

使用实际值替换 $x$ 和 $y$ 。

$r = 6 \sqrt{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{9}{3 \sqrt{3}})$

解题步骤 5

$\sqrt{3}$ 的反正切为 $θ = 60 °$ 。

$r = 6 \sqrt{3}$

$θ = 60 °$

解题步骤 6

这是 $(r, θ)$ 形式的转换成极坐标的结果。

$(6 \sqrt{3}, 60 °)$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$