初级微积分示例

$(- \frac{5}{2}, \frac{5 \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 1

使用换算公式，把直角坐标系 $(x, y)$ 转换成极坐标系 $(r, θ)$ 。

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 2

使用实际值替换 $x$ 和 $y$ 。

$r = \sqrt{{(- \frac{5}{2})}^{2} + {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3

求极坐标的大小。

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解题步骤 3.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.1

对 $- \frac{5}{2}$ 运用乘积法则。

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} + {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.1.2

对 $\frac{5}{2}$ 运用乘积法则。

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \sqrt{1 (\frac{5^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.3

将 $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$r = \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} + {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.4

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \sqrt{\frac{25}{2^{2}} + {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.6

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.6.1

对 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{{(5 \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.6.2

对 $5 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.7

化简分子。

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解题步骤 3.7.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.7.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.7.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.7.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.7.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.7.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.2.4.1

约去公因数。

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.7.2.4.2

重写表达式。

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.7.2.5

计算指数。

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.8

化简表达式。

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解题步骤 3.8.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.8.2

将 $25$ 乘以 $3$ 。

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{75}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.8.3

在公分母上合并分子。

$r = \sqrt{\frac{25 + 75}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.8.4

将 $25$ 和 $75$ 相加。

$r = \sqrt{\frac{100}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.8.5

用 $100$ 除以 $4$ 。

$r = \sqrt{25}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.8.6

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$r = \sqrt{5^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{5^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.9

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$r = 5$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 5$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 4

使用实际值替换 $x$ 和 $y$ 。

$r = 5$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{5 \sqrt{3}}{2}}{- \frac{5}{2}})$

解题步骤 5

$- \sqrt{3}$ 的反正切为 $θ = 120 °$ 。

$r = 5$

$θ = 120 °$

解题步骤 6

这是 $(r, θ)$ 形式的转换成极坐标的结果。

$(5, 120 °)$

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