初级微积分示例

$y = {(5 x^{2} + 3)}^{4}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = 5 x^{2} + 3$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x^{2} + 3$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

解题步骤 1.3

使用 $5 x^{2} + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

解题步骤 2

根据加法法则， $5 x^{2} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (10 x + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (10 x + 0)$

解题步骤 4.2

将 $10 x$ 和 $0$ 相加。

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (10 x)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $10$ 乘以 $4$ 。

$40 {(5 x^{2} + 3)}^{3} x$

解题步骤 5.2

重新排序 $40 {(5 x^{2} + 3)}^{3} x$ 的因式。

$40 x {(5 x^{2} + 3)}^{3}$

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