初级微积分示例

${(5 p + 1)}^{4}$

解题步骤 1

使用二项式展开定理求每一项。二项式定理表述为 ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ 。

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(5 p)}^{4 - k} \cdot {(1)}^{k}$

解题步骤 2

展开求和公式。

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(5 p)}^{4 - 0} \cdot {(1)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(5 p)}^{4 - 1} \cdot {(1)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(5 p)}^{4 - 2} \cdot {(1)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(5 p)}^{4 - 3} \cdot {(1)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(5 p)}^{4 - 4} \cdot {(1)}^{4}$

解题步骤 3

化简展开式每一项的指数。

$1 \cdot {(5 p)}^{4} \cdot {(1)}^{0} + 4 \cdot {(5 p)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

通过指数相加将 $1$ 乘以 ${(1)}^{0}$ 。

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解题步骤 4.1.1

移动 ${(1)}^{0}$ 。

${(1)}^{0} \cdot 1 \cdot {(5 p)}^{4} + 4 \cdot {(5 p)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

解题步骤 4.1.2

将 ${(1)}^{0}$ 乘以 $1$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

对 $1$ 进行 $1$ 次方运算。

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} \cdot {(5 p)}^{4} + 4 \cdot {(5 p)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1^{0 + 1} \cdot {(5 p)}^{4} + 4 \cdot {(5 p)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

解题步骤 4.1.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1^{1} \cdot {(5 p)}^{4} + 4 \cdot {(5 p)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

解题步骤 4.2

化简 $1^{1} \cdot {(5 p)}^{4}$ 。

${(5 p)}^{4} + 4 \cdot {(5 p)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

解题步骤 4.3

对 $5 p$ 运用乘积法则。

$5^{4} p^{4} + 4 \cdot {(5 p)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

解题步骤 4.4

对 $5$ 进行 $4$ 次方运算。

$625 p^{4} + 4 \cdot {(5 p)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

解题步骤 4.5

对 $5 p$ 运用乘积法则。

$625 p^{4} + 4 \cdot (5^{3} p^{3}) \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

解题步骤 4.6

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$625 p^{4} + 4 \cdot (125 p^{3}) \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

解题步骤 4.7

将 $125$ 乘以 $4$ 。

$625 p^{4} + 500 p^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

解题步骤 4.8

计算指数。

$625 p^{4} + 500 p^{3} \cdot 1 + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

解题步骤 4.9

将 $500$ 乘以 $1$ 。

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

解题步骤 4.10

对 $5 p$ 运用乘积法则。

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 6 \cdot (5^{2} p^{2}) \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

解题步骤 4.11

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 6 \cdot (25 p^{2}) \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

解题步骤 4.12

将 $25$ 乘以 $6$ 。

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

解题步骤 4.13

一的任意次幂都为一。

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} \cdot 1 + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

解题步骤 4.14

将 $150$ 乘以 $1$ 。

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

解题步骤 4.15

化简。

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 4 \cdot (5 p) \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

解题步骤 4.16

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 20 p \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

解题步骤 4.17

一的任意次幂都为一。

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 20 p \cdot 1 + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

解题步骤 4.18

将 $20$ 乘以 $1$ 。

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 20 p + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

解题步骤 4.19

通过指数相加将 $1$ 乘以 ${(1)}^{4}$ 。

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解题步骤 4.19.1

移动 ${(1)}^{4}$ 。

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 20 p + {(1)}^{4} \cdot 1 \cdot {(5 p)}^{0}$

解题步骤 4.19.2

将 ${(1)}^{4}$ 乘以 $1$ 。

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解题步骤 4.19.2.1

对 $1$ 进行 $1$ 次方运算。

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 20 p + {(1)}^{4} \cdot 1^{1} \cdot {(5 p)}^{0}$

解题步骤 4.19.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 20 p + 1^{4 + 1} \cdot {(5 p)}^{0}$

解题步骤 4.19.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 20 p + 1^{5} \cdot {(5 p)}^{0}$

解题步骤 4.20

化简 $1^{5} \cdot {(5 p)}^{0}$ 。

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 20 p + 1^{5}$

解题步骤 4.21

一的任意次幂都为一。

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 20 p + 1$

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