初级微积分示例

${(4 x - 3 y)}^{4}$

解题步骤 1

使用二项式展开定理求每一项。二项式定理表述为 ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ 。

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(4 x)}^{4 - k} \cdot {(- 3 y)}^{k}$

解题步骤 2

展开求和公式。

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(4 x)}^{4 - 0} \cdot {(- 3 y)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(4 x)}^{4 - 1} \cdot {(- 3 y)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(4 x)}^{4 - 2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(4 x)}^{4 - 3} \cdot {(- 3 y)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(4 x)}^{4 - 4} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 3

化简展开式每一项的指数。

$1 \cdot {(4 x)}^{4} \cdot {(- 3 y)}^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

将 ${(4 x)}^{4}$ 乘以 $1$ 。

${(4 x)}^{4} \cdot {(- 3 y)}^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.2

对 $4 x$ 运用乘积法则。

$4^{4} x^{4} \cdot {(- 3 y)}^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.3

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$256 x^{4} \cdot {(- 3 y)}^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.4

对 $- 3 y$ 运用乘积法则。

$256 x^{4} \cdot ({(- 3)}^{0} y^{0}) + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.5

使用乘法的交换性质重写。

$256 \cdot {(- 3)}^{0} x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.6

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$256 \cdot 1 x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.7

将 $256$ 乘以 $1$ 。

$256 x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.8

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$256 x^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.9

将 $256$ 乘以 $1$ 。

$256 x^{4} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.10

对 $4 x$ 运用乘积法则。

$256 x^{4} + 4 \cdot (4^{3} x^{3}) \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.11

通过指数相加将 $4$ 乘以 $4^{3}$ 。

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解题步骤 4.11.1

移动 $4^{3}$ 。

$256 x^{4} + 4^{3} \cdot 4 \cdot x^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.11.2

将 $4^{3}$ 乘以 $4$ 。

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解题步骤 4.11.2.1

对 $4$ 进行 $1$ 次方运算。

$256 x^{4} + 4^{3} \cdot 4^{1} \cdot x^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$256 x^{4} + 4^{3 + 1} \cdot x^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.11.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$256 x^{4} + 4^{4} \cdot x^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.12

化简 $4^{4} \cdot x^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1}$ 。

$256 x^{4} + 4^{4} \cdot x^{3} \cdot (- 3 y) + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.13

使用乘法的交换性质重写。

$256 x^{4} + 4^{4} \cdot - 3 x^{3} y + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.14

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$256 x^{4} + 256 \cdot - 3 x^{3} y + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.15

将 $256$ 乘以 $- 3$ 。

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.16

对 $4 x$ 运用乘积法则。

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 6 \cdot (4^{2} x^{2}) \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.17

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 6 \cdot (16 x^{2}) \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.18

将 $16$ 乘以 $6$ 。

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 96 x^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.19

对 $- 3 y$ 运用乘积法则。

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 96 x^{2} \cdot ({(- 3)}^{2} y^{2}) + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.20

使用乘法的交换性质重写。

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 96 \cdot {(- 3)}^{2} x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.21

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 96 \cdot 9 x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.22

将 $96$ 乘以 $9$ 。

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.23

化简。

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} + 4 \cdot (4 x) \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.24

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} + 16 x \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.25

对 $- 3 y$ 运用乘积法则。

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} + 16 x \cdot ({(- 3)}^{3} y^{3}) + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.26

使用乘法的交换性质重写。

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} + 16 \cdot {(- 3)}^{3} x y^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.27

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} + 16 \cdot - 27 x y^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.28

将 $16$ 乘以 $- 27$ 。

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} - 432 x y^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.29

将 ${(4 x)}^{0}$ 乘以 $1$ 。

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} - 432 x y^{3} + {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.30

对 $4 x$ 运用乘积法则。

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} - 432 x y^{3} + 4^{0} x^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.31

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} - 432 x y^{3} + 1 x^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.32

将 $x^{0}$ 乘以 $1$ 。

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} - 432 x y^{3} + x^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.33

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} - 432 x y^{3} + 1 \cdot {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.34

将 ${(- 3 y)}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} - 432 x y^{3} + {(- 3 y)}^{4}$

解题步骤 4.35

对 $- 3 y$ 运用乘积法则。

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} - 432 x y^{3} + {(- 3)}^{4} y^{4}$

解题步骤 4.36

对 $- 3$ 进行 $4$ 次方运算。

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} - 432 x y^{3} + 81 y^{4}$

初级微积分 示例

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