初级微积分示例

${(5 x + 5)}^{4}$

解题步骤 1

使用二项式展开定理求每一项。二项式定理表述为 ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ 。

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(5 x)}^{4 - k} \cdot {(5)}^{k}$

解题步骤 2

展开求和公式。

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(5 x)}^{4 - 0} \cdot {(5)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(5 x)}^{4 - 1} \cdot {(5)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(5 x)}^{4 - 2} \cdot {(5)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(5 x)}^{4 - 3} \cdot {(5)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(5 x)}^{4 - 4} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 3

化简展开式每一项的指数。

$1 \cdot {(5 x)}^{4} \cdot {(5)}^{0} + 4 \cdot {(5 x)}^{3} \cdot {(5)}^{1} + 6 \cdot {(5 x)}^{2} \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

将 ${(5 x)}^{4}$ 乘以 $1$ 。

${(5 x)}^{4} \cdot {(5)}^{0} + 4 \cdot {(5 x)}^{3} \cdot {(5)}^{1} + 6 \cdot {(5 x)}^{2} \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 4.2

对 $5 x$ 运用乘积法则。

$5^{4} x^{4} \cdot {(5)}^{0} + 4 \cdot {(5 x)}^{3} \cdot {(5)}^{1} + 6 \cdot {(5 x)}^{2} \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 4.3

通过指数相加将 $5^{4}$ 乘以 ${(5)}^{0}$ 。

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解题步骤 4.3.1

移动 ${(5)}^{0}$ 。

${(5)}^{0} \cdot 5^{4} x^{4} + 4 \cdot {(5 x)}^{3} \cdot {(5)}^{1} + 6 \cdot {(5 x)}^{2} \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5^{0 + 4} x^{4} + 4 \cdot {(5 x)}^{3} \cdot {(5)}^{1} + 6 \cdot {(5 x)}^{2} \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 4.3.3

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$5^{4} x^{4} + 4 \cdot {(5 x)}^{3} \cdot {(5)}^{1} + 6 \cdot {(5 x)}^{2} \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 4.4

对 $5$ 进行 $4$ 次方运算。

$625 x^{4} + 4 \cdot {(5 x)}^{3} \cdot {(5)}^{1} + 6 \cdot {(5 x)}^{2} \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 4.5

对 $5 x$ 运用乘积法则。

$625 x^{4} + 4 \cdot (5^{3} x^{3}) \cdot {(5)}^{1} + 6 \cdot {(5 x)}^{2} \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 4.6

通过指数相加将 $5^{3}$ 乘以 ${(5)}^{1}$ 。

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解题步骤 4.6.1

移动 ${(5)}^{1}$ 。

$625 x^{4} + 4 \cdot ({(5)}^{1} \cdot 5^{3} x^{3}) + 6 \cdot {(5 x)}^{2} \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 4.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$625 x^{4} + 4 \cdot (5^{1 + 3} x^{3}) + 6 \cdot {(5 x)}^{2} \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 4.6.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$625 x^{4} + 4 \cdot (5^{4} x^{3}) + 6 \cdot {(5 x)}^{2} \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 4.7

对 $5$ 进行 $4$ 次方运算。

$625 x^{4} + 4 \cdot (625 x^{3}) + 6 \cdot {(5 x)}^{2} \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 4.8

将 $625$ 乘以 $4$ 。

$625 x^{4} + 2500 x^{3} + 6 \cdot {(5 x)}^{2} \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 4.9

对 $5 x$ 运用乘积法则。

$625 x^{4} + 2500 x^{3} + 6 \cdot (5^{2} x^{2}) \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 4.10

通过指数相加将 $5^{2}$ 乘以 ${(5)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.10.1

移动 ${(5)}^{2}$ 。

$625 x^{4} + 2500 x^{3} + 6 \cdot ({(5)}^{2} \cdot 5^{2} x^{2}) + 4 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 4.10.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$625 x^{4} + 2500 x^{3} + 6 \cdot (5^{2 + 2} x^{2}) + 4 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 4.10.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$625 x^{4} + 2500 x^{3} + 6 \cdot (5^{4} x^{2}) + 4 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 4.11

对 $5$ 进行 $4$ 次方运算。

$625 x^{4} + 2500 x^{3} + 6 \cdot (625 x^{2}) + 4 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 4.12

将 $625$ 乘以 $6$ 。

$625 x^{4} + 2500 x^{3} + 3750 x^{2} + 4 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 4.13

化简。

$625 x^{4} + 2500 x^{3} + 3750 x^{2} + 4 \cdot (5 x) \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 4.14

通过指数相加将 $5$ 乘以 ${(5)}^{3}$ 。

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解题步骤 4.14.1

移动 ${(5)}^{3}$ 。

$625 x^{4} + 2500 x^{3} + 3750 x^{2} + 4 \cdot ({(5)}^{3} \cdot 5 x) + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 4.14.2

将 ${(5)}^{3}$ 乘以 $5$ 。

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解题步骤 4.14.2.1

对 $5$ 进行 $1$ 次方运算。

$625 x^{4} + 2500 x^{3} + 3750 x^{2} + 4 \cdot ({(5)}^{3} \cdot 5^{1} x) + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 4.14.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$625 x^{4} + 2500 x^{3} + 3750 x^{2} + 4 \cdot (5^{3 + 1} x) + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 4.14.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$625 x^{4} + 2500 x^{3} + 3750 x^{2} + 4 \cdot (5^{4} x) + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 4.15

对 $5$ 进行 $4$ 次方运算。

$625 x^{4} + 2500 x^{3} + 3750 x^{2} + 4 \cdot (625 x) + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 4.16

将 $625$ 乘以 $4$ 。

$625 x^{4} + 2500 x^{3} + 3750 x^{2} + 2500 x + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 4.17

将 ${(5 x)}^{0}$ 乘以 $1$ 。

$625 x^{4} + 2500 x^{3} + 3750 x^{2} + 2500 x + {(5 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 4.18

对 $5 x$ 运用乘积法则。

$625 x^{4} + 2500 x^{3} + 3750 x^{2} + 2500 x + 5^{0} x^{0} \cdot {(5)}^{4}$

解题步骤 4.19

通过指数相加将 $5^{0}$ 乘以 ${(5)}^{4}$ 。

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解题步骤 4.19.1

移动 ${(5)}^{4}$ 。

$625 x^{4} + 2500 x^{3} + 3750 x^{2} + 2500 x + {(5)}^{4} \cdot 5^{0} x^{0}$

解题步骤 4.19.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$625 x^{4} + 2500 x^{3} + 3750 x^{2} + 2500 x + 5^{4 + 0} x^{0}$

解题步骤 4.19.3

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$625 x^{4} + 2500 x^{3} + 3750 x^{2} + 2500 x + 5^{4} x^{0}$

解题步骤 4.20

化简 $5^{4} x^{0}$ 。

$625 x^{4} + 2500 x^{3} + 3750 x^{2} + 2500 x + 5^{4}$

解题步骤 4.21

对 $5$ 进行 $4$ 次方运算。

$625 x^{4} + 2500 x^{3} + 3750 x^{2} + 2500 x + 625$

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