初级微积分示例

{(r^{2} - s)}^{4}

${(r^{2} - s)}^{4}$

解题步骤 1

使用二项式展开定理求每一项。二项式定理表述为

{(a + b)}^{n} = n \sum k = 0 n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})

${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ 。

4 \sum k = 0 \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(r^{2})}^{4 - k} \cdot {(- s)}^{k}

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(r^{2})}^{4 - k} \cdot {(- s)}^{k}$

解题步骤 2

展开求和公式。

\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(r^{2})}^{4 - 0} \cdot {(- s)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(r^{2})}^{4 - 1} \cdot {(- s)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(r^{2})}^{4 - 2} \cdot {(- s)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(r^{2})}^{4 - 3} \cdot {(- s)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(r^{2})}^{4 - 4} \cdot {(- s)}^{4}

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(r^{2})}^{4 - 0} \cdot {(- s)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(r^{2})}^{4 - 1} \cdot {(- s)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(r^{2})}^{4 - 2} \cdot {(- s)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(r^{2})}^{4 - 3} \cdot {(- s)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(r^{2})}^{4 - 4} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 3

化简展开式每一项的指数。

$1 \cdot {(r^{2})}^{4} \cdot {(- s)}^{0} + 4 \cdot {(r^{2})}^{3} \cdot {(- s)}^{1} + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

将

${(r^{2})}^{4}$ 乘以

$1$ 。

${(r^{2})}^{4} \cdot {(- s)}^{0} + 4 \cdot {(r^{2})}^{3} \cdot {(- s)}^{1} + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.2

将

${(r^{2})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$r^{2 \cdot 4} \cdot {(- s)}^{0} + 4 \cdot {(r^{2})}^{3} \cdot {(- s)}^{1} + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.2.2

将

$2$ 乘以

$4$ 。

$r^{8} \cdot {(- s)}^{0} + 4 \cdot {(r^{2})}^{3} \cdot {(- s)}^{1} + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.3

对

$- s$ 运用乘积法则。

$r^{8} \cdot ({(- 1)}^{0} s^{0}) + 4 \cdot {(r^{2})}^{3} \cdot {(- s)}^{1} + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.4

使用乘法的交换性质重写。

${(- 1)}^{0} r^{8} s^{0} + 4 \cdot {(r^{2})}^{3} \cdot {(- s)}^{1} + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.5

任何数的

$0$ 次方都是

$1$ 。

$1 r^{8} s^{0} + 4 \cdot {(r^{2})}^{3} \cdot {(- s)}^{1} + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.6

将

$r^{8}$ 乘以

$1$ 。

$r^{8} s^{0} + 4 \cdot {(r^{2})}^{3} \cdot {(- s)}^{1} + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.7

任何数的

$0$ 次方都是

$1$ 。

$r^{8} \cdot 1 + 4 \cdot {(r^{2})}^{3} \cdot {(- s)}^{1} + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.8

将

$r^{8}$ 乘以

$1$ 。

$r^{8} + 4 \cdot {(r^{2})}^{3} \cdot {(- s)}^{1} + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.9

将

${(r^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.9.1

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$r^{8} + 4 \cdot r^{2 \cdot 3} \cdot {(- s)}^{1} + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.9.2

将

$2$ 乘以

$3$ 。

$r^{8} + 4 \cdot r^{6} \cdot {(- s)}^{1} + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.10

化简。

$r^{8} + 4 r^{6} \cdot (- s) + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.11

使用乘法的交换性质重写。

$r^{8} + 4 \cdot - 1 r^{6} s + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.12

将

$4$ 乘以

$- 1$ 。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.13

将

${(r^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.13.1

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 \cdot r^{2 \cdot 2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.13.2

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 \cdot r^{4} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.14

对

$- s$ 运用乘积法则。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} \cdot ({(- 1)}^{2} s^{2}) + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.15

使用乘法的交换性质重写。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 \cdot {(- 1)}^{2} r^{4} s^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.16

对

$- 1$ 进行

$2$ 次方运算。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 \cdot 1 r^{4} s^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.17

将

$6$ 乘以

$1$ 。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.18

将

${(r^{2})}^{1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.18.1

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} + 4 \cdot r^{2 \cdot 1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.18.2

将

$2$ 乘以

$1$ 。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} + 4 \cdot r^{2} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.19

对

$- s$ 运用乘积法则。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} + 4 r^{2} \cdot ({(- 1)}^{3} s^{3}) + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.20

使用乘法的交换性质重写。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} + 4 \cdot {(- 1)}^{3} r^{2} s^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.21

对

$- 1$ 进行

$3$ 次方运算。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} + 4 \cdot - 1 r^{2} s^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.22

将

$4$ 乘以

$- 1$ 。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} - 4 r^{2} s^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.23

将

${(r^{2})}^{0}$ 乘以

$1$ 。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} - 4 r^{2} s^{3} + {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.24

将

${(r^{2})}^{0}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.24.1

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} - 4 r^{2} s^{3} + r^{2 \cdot 0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.24.2

将

$2$ 乘以

$0$ 。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} - 4 r^{2} s^{3} + r^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.25

任何数的

$0$ 次方都是

$1$ 。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} - 4 r^{2} s^{3} + 1 \cdot {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.26

将

${(- s)}^{4}$ 乘以

$1$ 。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} - 4 r^{2} s^{3} + {(- s)}^{4}$

解题步骤 4.27

对

$- s$ 运用乘积法则。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} - 4 r^{2} s^{3} + {(- 1)}^{4} s^{4}$

解题步骤 4.28

对

$- 1$ 进行

$4$ 次方运算。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} - 4 r^{2} s^{3} + 1 s^{4}$

解题步骤 4.29

将

$s^{4}$ 乘以

$1$ 。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} - 4 r^{2} s^{3} + s^{4}$

初级微积分 示例

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