初级微积分示例

${(x - h)}^{3}$

解题步骤 1

使用二项式展开定理求每一项。二项式定理表述为 ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ 。

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(x)}^{3 - k} \cdot {(- h)}^{k}$

解题步骤 2

展开求和公式。

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} {(x)}^{3 - 0} \cdot {(- h)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} {(x)}^{3 - 1} \cdot {(- h)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} {(x)}^{3 - 2} \cdot {(- h)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} {(x)}^{3 - 3} \cdot {(- h)}^{3}$

解题步骤 3

化简展开式每一项的指数。

$1 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(- h)}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- h)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- h)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

将 ${(x)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

${(x)}^{3} \cdot {(- h)}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- h)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- h)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

解题步骤 4.2

对 $- h$ 运用乘积法则。

$x^{3} \cdot ({(- 1)}^{0} h^{0}) + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- h)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- h)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

解题步骤 4.3

使用乘法的交换性质重写。

${(- 1)}^{0} x^{3} h^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- h)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- h)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

解题步骤 4.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1 x^{3} h^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- h)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- h)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

解题步骤 4.5

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} h^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- h)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- h)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

解题步骤 4.6

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- h)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- h)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

解题步骤 4.7

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- h)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- h)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

解题步骤 4.8

化简。

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot (- h) + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- h)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

解题步骤 4.9

使用乘法的交换性质重写。

$x^{3} + 3 \cdot - 1 x^{2} h + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- h)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

解题步骤 4.10

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{3} - 3 x^{2} h + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- h)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

解题步骤 4.11

化简。

$x^{3} - 3 x^{2} h + 3 \cdot x \cdot {(- h)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

解题步骤 4.12

对 $- h$ 运用乘积法则。

$x^{3} - 3 x^{2} h + 3 x \cdot ({(- 1)}^{2} h^{2}) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

解题步骤 4.13

使用乘法的交换性质重写。

$x^{3} - 3 x^{2} h + 3 \cdot {(- 1)}^{2} x h^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

解题步骤 4.14

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x^{3} - 3 x^{2} h + 3 \cdot 1 x h^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

解题步骤 4.15

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} - 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

解题步骤 4.16

将 ${(x)}^{0}$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} - 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

解题步骤 4.17

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x^{3} - 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + 1 \cdot {(- h)}^{3}$

解题步骤 4.18

将 ${(- h)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} - 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + {(- h)}^{3}$

解题步骤 4.19

对 $- h$ 运用乘积法则。

$x^{3} - 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + {(- 1)}^{3} h^{3}$

解题步骤 4.20

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$x^{3} - 3 x^{2} h + 3 x h^{2} - h^{3}$

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