初级微积分示例

$x^{4} + 4 x^{3} + 44 x^{2} + 196 x - 245$

解题步骤 1

将 $x^{4} + 4 x^{3} + 44 x^{2} + 196 x - 245$ 设为等于 $0$ 。

$x^{4} + 4 x^{3} + 44 x^{2} + 196 x - 245 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

重新组合项。

$4 x^{3} + 196 x + x^{4} + 44 x^{2} - 245 = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $4 x^{3} + 196 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) + 196 x + x^{4} + 44 x^{2} - 245 = 0$

解题步骤 2.1.2.2

从 $196 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) + 4 x (49) + x^{4} + 44 x^{2} - 245 = 0$

解题步骤 2.1.2.3

从 $4 x (x^{2}) + 4 x (49)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2} + 49) + x^{4} + 44 x^{2} - 245 = 0$

解题步骤 2.1.3

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$4 x (x^{2} + 49) + {(x^{2})}^{2} + 44 x^{2} - 245 = 0$

解题步骤 2.1.4

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$4 x (x^{2} + 49) + u^{2} + 44 u - 245 = 0$

解题步骤 2.1.5

使用 AC 法来对 $u^{2} + 44 u - 245$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 245$ ，和为 $44$ 。

$- 5, 49$

解题步骤 2.1.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$4 x (x^{2} + 49) + (u - 5) (u + 49) = 0$

解题步骤 2.1.6

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 x (x^{2} + 49) + (x^{2} - 5) (x^{2} + 49) = 0$

解题步骤 2.1.7

从 $4 x (x^{2} + 49) + (x^{2} - 5) (x^{2} + 49)$ 中分解出因数 $x^{2} + 49$ 。

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解题步骤 2.1.7.1

从 $4 x (x^{2} + 49)$ 中分解出因数 $x^{2} + 49$ 。

$(x^{2} + 49) (4 x) + (x^{2} - 5) (x^{2} + 49) = 0$

解题步骤 2.1.7.2

从 $(x^{2} - 5) (x^{2} + 49)$ 中分解出因数 $x^{2} + 49$ 。

$(x^{2} + 49) (4 x) + (x^{2} + 49) (x^{2} - 5) = 0$

解题步骤 2.1.7.3

从 $(x^{2} + 49) (4 x) + (x^{2} + 49) (x^{2} - 5)$ 中分解出因数 $x^{2} + 49$ 。

$(x^{2} + 49) (4 x + x^{2} - 5) = 0$

解题步骤 2.1.8

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$(x^{2} + 49) (4 u + u^{2} - 5) = 0$

解题步骤 2.1.9

使用 AC 法来对 $4 u + u^{2} - 5$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.9.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 5$ ，和为 $4$ 。

$- 1, 5$

解题步骤 2.1.9.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x^{2} + 49) ((u - 1) (u + 5)) = 0$

解题步骤 2.1.10

因数。

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解题步骤 2.1.10.1

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{2} + 49) ((x - 1) (x + 5)) = 0$

解题步骤 2.1.10.2

去掉多余的括号。

$(x^{2} + 49) (x - 1) (x + 5) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} + 49 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x^{2} + 49$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x^{2} + 49$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 49 = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 49 = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

从等式两边同时减去 $49$ 。

$x^{2} = - 49$

解题步骤 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 49}$

解题步骤 2.3.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 49}$ 。

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解题步骤 2.3.2.3.1

将 $- 49$ 重写为 $- 1 (49)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (49)}$

解题步骤 2.3.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (49)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$

解题步骤 2.3.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{49}$

解题步骤 2.3.2.3.4

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{7^{2}}$

解题步骤 2.3.2.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot 7$

解题步骤 2.3.2.3.6

将 $7$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 7 i$

解题步骤 2.3.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.3.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 7 i$

解题步骤 2.3.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 7 i$

解题步骤 2.3.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 7 i, - 7 i$

解题步骤 2.4

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.5

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$x + 5 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x = - 5$

解题步骤 2.6

最终解为使 $(x^{2} + 49) (x - 1) (x + 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = 7 i, - 7 i, 1, - 5$

解题步骤 3

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