初级微积分示例

$\frac{4 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x - 1}{2 x + 1}$

解题步骤 1

要计算余项，请首先除以该多项式。

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解题步骤 1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x$

+

$1$

$4 x^{3}$

-

$8 x^{2}$

+

$2 x$

-

$1$

解题步骤 1.2

将被除数中的最高阶项 $4 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$

解题步骤 1.3

将新的商式项乘以除数。

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
				+	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

解题步骤 1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x^{3} + 2 x^{2}$ 中的所有符号

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
				-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

解题步骤 1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
				-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$10 x^{2}$

解题步骤 1.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
				-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$10 x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 1.7

将被除数中的最高阶项 $- 10 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

					$2 x^{2}$	-	$5 x$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
				-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$10 x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 1.8

将新的商式项乘以除数。

					$2 x^{2}$	-	$5 x$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
				-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$10 x^{2}$	+	$2 x$
						-	$10 x^{2}$	-	$5 x$

解题步骤 1.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 10 x^{2} - 5 x$ 中的所有符号

					$2 x^{2}$	-	$5 x$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
				-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$10 x^{2}$	+	$2 x$
						+	$10 x^{2}$	+	$5 x$

解题步骤 1.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$2 x^{2}$	-	$5 x$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
				-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$10 x^{2}$	+	$2 x$
						+	$10 x^{2}$	+	$5 x$
								+	$7 x$

解题步骤 1.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

					$2 x^{2}$	-	$5 x$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
				-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$10 x^{2}$	+	$2 x$
						+	$10 x^{2}$	+	$5 x$
								+	$7 x$	-	$1$

解题步骤 1.12

将被除数中的最高阶项 $7 x$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

					$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$\frac{7}{2}$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
				-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$10 x^{2}$	+	$2 x$
						+	$10 x^{2}$	+	$5 x$
								+	$7 x$	-	$1$

解题步骤 1.13

将新的商式项乘以除数。

					$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$\frac{7}{2}$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
				-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$10 x^{2}$	+	$2 x$
						+	$10 x^{2}$	+	$5 x$
								+	$7 x$	-	$1$
								+	$7 x$	+	$\frac{7}{2}$

解题步骤 1.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $7 x + \frac{7}{2}$ 中的所有符号

					$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$\frac{7}{2}$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
				-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$10 x^{2}$	+	$2 x$
						+	$10 x^{2}$	+	$5 x$
								+	$7 x$	-	$1$
								-	$7 x$	-	$\frac{7}{2}$

解题步骤 1.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$\frac{7}{2}$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
				-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$10 x^{2}$	+	$2 x$
						+	$10 x^{2}$	+	$5 x$
								+	$7 x$	-	$1$
								-	$7 x$	-	$\frac{7}{2}$
										-	$\frac{9}{2}$

解题步骤 1.16

最终答案为商加上余数除以除数。

$2 x^{2} - 5 x + \frac{7}{2} - \frac{9}{2 (2 x + 1)}$

$2 x^{2} - 5 x + \frac{7}{2} - \frac{9}{2 (2 x + 1)}$

解题步骤 2

因为结果表达式的末项为分数，所以该分数的分子为其余数。

$- 9$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$