初级微积分示例

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x - 5}{x - 3}$

解题步骤 1

要计算余项，请首先除以该多项式。

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解题步骤 1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

-

$3$

$2 x^{3}$

-

$7 x^{2}$

+

$4 x$

-

$5$

解题步骤 1.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$

解题步骤 1.3

将新的商式项乘以除数。

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
				+	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

解题步骤 1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{3} - 6 x^{2}$ 中的所有符号

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
				-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

解题步骤 1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
				-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
						-	$x^{2}$

解题步骤 1.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
				-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
						-	$x^{2}$	+	$4 x$

解题步骤 1.7

将被除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$2 x^{2}$	-	$x$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
				-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
						-	$x^{2}$	+	$4 x$

解题步骤 1.8

将新的商式项乘以除数。

					$2 x^{2}$	-	$x$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
				-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
						-	$x^{2}$	+	$4 x$
						-	$x^{2}$	+	$3 x$

解题步骤 1.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{2} + 3 x$ 中的所有符号

					$2 x^{2}$	-	$x$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
				-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
						-	$x^{2}$	+	$4 x$
						+	$x^{2}$	-	$3 x$

解题步骤 1.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$2 x^{2}$	-	$x$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
				-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
						-	$x^{2}$	+	$4 x$
						+	$x^{2}$	-	$3 x$
								+	$x$

解题步骤 1.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

					$2 x^{2}$	-	$x$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
				-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
						-	$x^{2}$	+	$4 x$
						+	$x^{2}$	-	$3 x$
								+	$x$	-	$5$

解题步骤 1.12

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$2 x^{2}$	-	$x$	+	$1$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
				-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
						-	$x^{2}$	+	$4 x$
						+	$x^{2}$	-	$3 x$
								+	$x$	-	$5$

解题步骤 1.13

将新的商式项乘以除数。

					$2 x^{2}$	-	$x$	+	$1$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
				-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
						-	$x^{2}$	+	$4 x$
						+	$x^{2}$	-	$3 x$
								+	$x$	-	$5$
								+	$x$	-	$3$

解题步骤 1.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x - 3$ 中的所有符号

					$2 x^{2}$	-	$x$	+	$1$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
				-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
						-	$x^{2}$	+	$4 x$
						+	$x^{2}$	-	$3 x$
								+	$x$	-	$5$
								-	$x$	+	$3$

解题步骤 1.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$2 x^{2}$	-	$x$	+	$1$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
				-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
						-	$x^{2}$	+	$4 x$
						+	$x^{2}$	-	$3 x$
								+	$x$	-	$5$
								-	$x$	+	$3$
										-	$2$

解题步骤 1.16

最终答案为商加上余数除以除数。

$2 x^{2} - x + 1 - \frac{2}{x - 3}$

$2 x^{2} - x + 1 - \frac{2}{x - 3}$

解题步骤 2

因为结果表达式的末项为分数，所以该分数的分子为其余数。

$- 2$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$