初级微积分示例

$\sin (\sin^{-1} (u) - \tan^{-1} (v))$

解题步骤 1

应用角度恒等式的差。

$\sin (\sin^{-1} (u)) \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

正弦函数和反正弦函数互为反函数。

$u \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.2

在平面中画出顶点为 $(1, v)$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\tan^{-1} (v)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, v)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\tan^{-1} (v))$ 为 $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ 。

$u \frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.3

将 $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ 。

$u (\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}) - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.4

合并和化简分母。

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解题步骤 2.1.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ 。

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}} \sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.4.2

对 $\sqrt{1 + v^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} \sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.4.3

对 $\sqrt{1 + v^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + v^{2}}}^{1}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1 + 1}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.4.6

将 ${\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}$ 重写为 $1 + v^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + v^{2}}$ 重写成 ${(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{({(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.6.4.1

约去公因数。

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.4.6.4.2

重写表达式。

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{1}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.4.6.5

化简。

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.5

组合 $u$ 和 $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ 。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.6

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\sin^{-1} (u)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\sin^{-1} (u))$ 为 $\sqrt{1 - u^{2}}$ 。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{1 - u^{2}} \sin (\tan^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.7

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{1^{2} - u^{2}} \sin (\tan^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.8

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = u$ 。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sin (\tan^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.9

在平面中画出顶点为 $(1, v)$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\tan^{-1} (v)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, v)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sin (\tan^{-1} (v))$ 为 $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ 。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$

解题步骤 2.1.10

将 $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ 。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} (\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}})$

解题步骤 2.1.11

合并和化简分母。

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解题步骤 2.1.11.1

将 $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ 。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}} \sqrt{1 + v^{2}}}$

解题步骤 2.1.11.2

对 $\sqrt{1 + v^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} \sqrt{1 + v^{2}}}$

解题步骤 2.1.11.3

对 $\sqrt{1 + v^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + v^{2}}}^{1}}$

解题步骤 2.1.11.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.1.11.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}}$

解题步骤 2.1.11.6

将 ${\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}$ 重写为 $1 + v^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.11.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + v^{2}}$ 重写成 ${(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{({(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.11.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.11.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.1.11.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.11.6.4.1

约去公因数。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.1.11.6.4.2

重写表达式。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{1}}$

解题步骤 2.1.11.6.5

化简。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$

解题步骤 2.1.12

乘以 $- \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.12.1

组合 $\frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ 和 $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ 。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \frac{v \sqrt{1 + v^{2}} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{1 + v^{2}}$

解题步骤 2.1.12.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \frac{v \sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}}$

解题步骤 2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}} - v \sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}}$

初级微积分 示例

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